FN2 F2
F2 ( l1 l2 ) F1l1 ( l )分段 EA EA
2. 分解载荷法
F2 ( l1 l2F ) ( lF1 l1 l ) F l 1 1 )分段 l 2 1 2 lF1( l F2 EA EA EA EA
( l )分解载荷 lF1 lF2
FN2 F ( 压缩)
FN1 l1 2F 2l 2Fl ( 伸长) l1 EA E1 A1 EA
FN2 l2 Fl l 2 (缩短) E2 A2 EA
2. 作图法求节点位移 圆弧法 作圆弧A1A’、A2A’ 切线代圆弧法 将圆弧A1A’用 其切线A1A3代替 3. 节点位移计算
l
A1
B
A
l f A l cos a l tg a sin a AA cos a
(l l ) A1 B A1 A
切线代圆弧
节点位移分析
图示桁架，试求节点 A 的水平与铅垂位移， 已知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l
1. 轴力与变形分析
FN1 2F ( 拉伸)
横截面内任一点， 任意面内方向上的应变
横向变形与泊松比 泊松比
'
试验表明：在比例极限内，’ ，并异号
－泊松比 (横向变形系数）
Poisson’s Ratio
0 0.5
• 对于绝大多数各向同性材料
• 弹性理论证明： 等温下各向同性线弹性材料 1 0.5
线弹性杆的拉压应变能V来自ε WF l V ε 2 EA
2 N
拉压与剪切应变能密度
拉压应变能密度
dV ε
dxdz dy
2


2
dxdydz
2
单位体积内应变能－应变能密度
vε
dV ε

2



2E
2
2
剪切应变能密度
dxdz dy
2

dxdydz
vε
16 3Fl 2 l AA' 2CC ' EA cos 60
( )
§3 拉压与剪切应变能
应变能概念 轴向拉压应变能 拉压与剪切应变能密度 例题
应变能概念 应变能与功能原理
构件在载荷作用点、沿载荷方向的位移－相应位移 弹性体因变形而储存的能量－应变能 V 外力在变形过程中所作之功－外力功 W 根据能量守恒定律，弹性体因变形所储 存的应变能 ，数值上等于外力所作的功
例 题
例 2-1 F1 = F2 / 2 = F ，求截面 A 的位移
刚体
EA
解：1. 计算 FN与 l
0 M B＝
2F1 F2 FN 6F sin 30
l 6F 4 3Fl sin 60 l EA EA
2. 画变形图
刚性杆不变形
3. 位移计算
Ay

i 1
n
FNi li Ei Ai
FN ( x )dx EA(x )
FNi－杆段 i 轴力（设正） n－总段数，l—伸长为正
变截面变轴力杆 取微段dx, 微段变形
FN ( x ) l dx l EA( x )

横向变形与泊松比 拉压杆的横向变形
横向变形
b b1 b
横向应变
b ' b
2. 螺拴横向变形 横截面内任一点、 在任一方向上的应变
4
' 2.22 10
d ' di 0.0034 mm
螺拴直径缩小 0.0034 mm
例 1-2 图示涡轮叶片，单位体积的质量为r ，求叶片横 截面上的正应力与轴向变形 解：1. 叶片外力
处的向心加速度：
E1 A1 FN1 ＝ cos 2a FN3 －用内力表示的变形协调方程 E3 A3
联立求解平衡与补充方程
Fcos 2a FN1 FN2 E3 A3 2cos 3a E1 A1
综合考虑三方面
F FN3 E1 A1 1 2 cos 3a E3 A3
综合考虑静力、几何与物理三方面

例 题
例 1-1 长度 l = 54 mm ，内径 di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
0.3。经预紧后，轴 向变形 l ＝0.04 mm。试求： (a) 螺拴横截面上的正应力
(b) 螺拴的横向变形 d
解：1. 横截面正应力
l -4 7.41 10 l
E 148.2 MPa

2


2G
例 题
例 3-1 用能量法计算节点 B 的铅垂位移 By
解：1. 轴力分析
FN1 ＝ 2F （拉）
FN2 ＝FN3 ＝F （压）
2. 应变能计算
V ε
2 N1

i 1
2
3
2 FN i li 2 Ei Ai
2 N2 2 N3
F 2l F l F l V ε 2 EA 2 EA 2 EA
0
l FN1 ( FN2 F ) 2l 0 2
3. 建立补充方程
l2 2CC' l2 2 2l1
解：1. 应力分析
Fy 0, 2rh F 0
F 2rh
2. 应变能计算
2 F2 dV 2rhdr ＝ dr ε 2G 4rhG
F2 V 4hG

D/ 2 d/2
1 dr r
F (lnD lnd ) 4hG
2
3. 位移计算
FΔ F (lnD lnd ) 2 4hG
外力与 FNi 之间满足静力平衡方程 各 li 之间满足变形协调方程 li 与FNi 之间满足给定物理关系（例如胡克定律） 静不定问题的内力特点
内力分配与杆件刚度有关 一般讲，EiAi ，FNi
例 4-1 求两端固定杆的支反力
解：1. 静力学方面 支反力－2，平衡方程－1，1 度静不定
静不定问题
静不定度 未知力数与有效平衡方程数之差
静不定问题分析
分析方法
求解思路
变形协调条件
建立平衡方程 分析变形，建立补充方程
f ( l1 , l2 , l3 ) 0 li ~ FNi ( i 1,2,3) F ( FN1 , FN2 , FN3 ) 0
补充方程
3. 位移计算
F l ( 2 1) EA
F By W＝ W V 由 ε 2 可得 FBy F 2 l ( 2 1) 2 EA
2Fl ( 2 1) By EA
(解析) 求节点A的位移? B B
a
A P C
A
C
例 3-2 图示隔振器，钢杆与钢套视为刚体，橡皮的 切变模量为 G 。求橡皮管内的应力 与钢杆的位移
各杆变形间满 足一定关系
变形与受力关系 一度静不定
E1A1= E2A2
平衡方程
FN2 sina - FN1sina 0
FN1cosa FN2 cosa FN3 F 0
变形几何关系
l1 l3cosa
变形协调方程
保证结构连续性所应 胡克定律 满足的变形几何关系 F l FN3 l1cosa l1 N1 1 l3 E1 A1 E3 A3 补充方程


E
'

E
E、 G、 之间的关系
E G 2(1 )
理论与实验均已证实
叠加原理
算例 试分析杆 AC 的轴向变形 l
1.分段解法
FN1l1 FN2l2 ( F2 F1 )l1 F2 l2 ( l )分段 EA EA EA EA
FN1 F2 F1
叶片
ar
2
作用在 d 微段上的离心力：
dF 2 dm 2 rAd
dF rAd
2
2. 叶片轴力与应力
2. 叶片轴力与应力
x 截面的轴力：
FN ( x )

Ro x
2 rAd
( Ro2 x 2 )

2 rA
2
x 截面的应力：
注意受力图与变形图协调： 伸长～拉力；缩短～压力 先画变形图，判断轴力正负
解：1. 问题分析 未知力－4，平衡方程－3，一度静不定
2. 画变形与受力图 3. 建立平衡方程
注意受力图与变形图协调： 伸长～拉力；缩短～压力 一度静不定
先画变形图，判断轴力正负
1. 画变形与受力图
2.建立平衡方程
M
B
FAx l1 FBx l2 0 F FAx FBx 0
5. 支反力计算
联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得
Fl2 FAx l1 l2
Fl1 FBx l1 l2
例 4-2 已知：F = 50 kN，[1] = 160 MPa，[2 ] = 120 MPa ，A1= A2。试问：A1=? A2=?
Ax AA2 l2 ( )
l1 l 2 ( ) Ay AA5 cos 45
小变形概念 小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形
应 用：在小变形条件下，通常即可： 按结构的原有几何形状与尺寸，计算约束 反力与内力——刚性假定； 采用切线代圆弧的方法确定节点位移； 内力、应力与载荷成线性 位移与应变成线性
f A AB (l l )cos b l cos a
l aa A F
b
l

cos b cos(a ) cos a sin a ( )2 cos a