导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
导数
分析 引论
微分
极限
空间解析几何
微积分 主体
函数 多元函数
专 常微分 题 方程
无穷 级数 多元函数 积分学
多元函数 微分学
偏导数 全微分
重积分 线面积分 曲面面积、体积、 质心…
切线、法平面、 应用 梯度…
应用
切线、图形 、速度…
应
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 定 积分 积分学 无穷 级数
映射，这个映射称为映射g和f 构成的复合映射，记作
即：
Y1
注 （1） 映射g和f 构成复合映射的条件： （2） 映射g和f 的复合是有顺序的
例题 例1 写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题： （1）映射f 是否单射？是否满射？ （2）若存在逆映射，求出逆映射 1. 设
对每个
2. 设映射f 将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点
函 数
集合
定义
a A. ( 或 a A ) .
确定性、无序性、互异性 有限集、无限集 列举法、描述法
特性
分类 表示法 关系 运算 运算律
A B A B且 B A
A B A B
A\ B
AC
( A B)C AC B C
常用集合
N Z
Q R
集 合 区 邻 间 域
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
一、高等数学课程介绍 （一）研究对象
（二）教学内容 （三）研究方法
（四）教学目的
一、高等数学课程介绍 （一）研究对象
（二）教学内容 （三）研究方法
微分学
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 X f Y=f (X) Y
它们的像
逆映射
满射、单射和双射 若f是从集合X到集合Y的映射 若
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f Y
它们的像
逆映射
满射、单射和双射 若f是从集合X到集合Y的映射 若
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f
微分学
分析 引论
微 分
导数
微分
极限
积 分 学
函数
常微分 方程
空间解析几何
多元函数 微分学
偏导数 全微分
学
多元函数
重积分 线面积分 曲面面积、体积、 质心…
多元函数 积分学
切线、法平面、 应用 梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学
微分学
（3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称
X
非空集X 非空集X 实数集X
f
X上的泛函 X上的变换
Y
数集Y 非空集X 实数集Y
X上的函数
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
构造
逆映射
函 数
逆映射
满射、单射和双射 若f是从集合X到集合Y的映射
f X Y
逆映射
满射、单射和双射 若f是从集合X到集合Y的映射 若
（二）教学内容 （三）研究方法
（四）教学目的
极限方法
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
解析法 表格法 图象法 （1） 表示法：
（2） 解析式的理解：一系列的运算程序
1 x 例如： f ( x ) 1 x
1 理解为： f ( ) 1
注
只有当两个函数的定义域和对应法则都相同时， 这两个函数才是相同的，否则就是不同的.
例4 下列函数是否相同，为什么？
(1) (2)
切线、法平面 、梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
它们的像
逆映射 若f 是从X到Y的单射，可定义一个从 对每个 规定
到X的新映射g
这x满足
这个映射g称为f的逆映射，记作 注 （1） 只有单射才存在逆映射 （2） 逆映射
的定义域 值域
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
逆映射
函 数
构造 复合映射
复合映射
定义 设有两个映射 其中 则由映射g和f 可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个 映成 这个对应法则确定了一个从X到Z的
微分学
一元函数微积分
导数 微分
分析 引论 极限 连续
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学
多元函数微积分
偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积、体积、 质心…
多元函数 积分学
切线、法平面、 应用 梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
如果存在数 K 1 , 使得 f ( x ) K1 对任一 x X 都成立 y 则称函数f (x)在X上有上界
K 1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
注 （1） 有界性的概念须明确数集 X D
（2）若函数f (x)在X上有上(下)界，则上(下)界不唯一 例： f ( x )
函数的特性
微分学
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
一、高等数学课程介绍 （一）研究对象
（二）教学内容 （三）研究方法
（四）教学目的
一、高等数学课程介绍 （一）研究对象
注 （1） 注意符号f 和f (x)的区别 （2） 表示函数的记号可以任意选取 （3） 函数的要素：定义域 对应法则
函数的要素
1．定义域 （1） 定义域是非空的数集 （2） 定义域的求法： 使表达式有意义的自变量的集合. 例3 求函数 f ( x ) ln( 4 x 3) arcsin( 2 x 1) 的定义域 2．对应法则
1 在 (0, 1)内有下界，但没有上界 x 在 (1, 2)内既有下界，也有上界
函数的特性
1．有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在正数M , 使得| f ( x ) | M 对任一 x X 都成立 y 则称函数f (x)在X上有界 如果这样的 M不存在 即：
函 数
区间
开区间
( a , b ) x a x b [ பைடு நூலகம் , b ] x a x b
闭区间
半开区间
无限区间
邻域
邻域
邻域
邻域中心 邻域半径
以点a为中心的任何开区间
a a a
去心 邻域 左 邻域 右 邻域
(
)
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
函 数
映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得 对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作：y=f (x) f X x y
Y
原像
定义域
像 值域
注 定义域、值域、对应法则； （1） 映射的三要素：
（2） 映射的像唯一，但原像不一定唯一；
（二）教学内容 （三）研究方法
（四）教学目的