正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.主要考查有关定理的应用、三角包等变换的能力、运算能力及转化的数学思想.解三角形常常作为解题工具用丁立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现.1.正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.其中R是三角形外接圆的半径.(2)正弦定理的其他形式：① a = 2RsinA , b =, csinO；③ a : b ： c= _______________________________2.余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平■方等——王彦文宵铜峡一中丁其他两边的平■方的和减去这两边与它们的火角的余弦的积的两倍.即a2=, b2=,c?=.若令C= 90°, WJ c2=,即为勾股定理.(2)余弦定理的变形：cosA =, cosB=, cosC^.若C为锐角，则cosC>0,即a2 + b2 ; 若C为钝角，贝U cosC<0,即a2+ b2.故由a2+ b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角.(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角,余弦定理亦可以写成sin2A= sin2B+ sin2C—2sinBsinCcosA，类似地，sin2B= ________________ ; sin2C= _________ _S 意式中隐含条件A+ B+ C= TT .3.解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用理.只有一解.(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用定理，可能有L如在△ ABC中，已知a, b和A时，解的情况如表：②sin A=2R' sinB=A为锐角A为钝角或直角图形关系式a= bsinA bsinA<a< b a为a>b解的个数①②③④(3)已知三边，用理.有解时，只有一解.(4)已知两边及火角，用理, 必有一解.4.三角形中的常用公式或变式⑴三角形面积公式& =:其中R, r分别为三角形外接圆、内切圆半径.(2)A+ B+ C=兀，WJ A=,A5 = , 从而sinA = tanAtanBtanC (3)a+ c sinA+ sinCcosA = , tanA =<(3)互化sin2C+ sin2A—2sinCsinAcosB sin2A+sin2B— 2sinAsinBcosC3. (1)正弦(2)正弦一解、两解或无解①一解②二解③一解④一解⑶余弦⑷余弦1 1 1 abc 14. (1)2absinC 2bcsinA 2acsinB 4R 2 (a+ b+ c)r在△ ABC中，A>B 是sinA>sinB 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件.故选C.兀B+ C (2)代(B+ Q 2— Fsin(B+ C) — cos(B+ C)2 (1)b* 1 2+ c2— 2bccosA c2 + a2— 2cacosB a2 + b2—2abcosC a2 + b2b2+ c2—a2c2+ a2—b2a2+ b2—c2(2)2bc2ca2ab—tan(B+ C) co岩si号«C tan 2在△ ABC中，已知b= 6, c= 10, B= 30°,则解此三角形的结果有（）A.无解B. 一解C.两解D. 一解或两解解：由正弦定理知sinC=半=5, 乂由b 6c>b>csinB知，C有两解.也可依已知条件，画出△ ABC,由图知有两解.故选 C.（2012陕西）在^ABC中，角A, B, C所对的边…一…Tt i—一，分力U为a, b, c.右a= 2, B= c= 2寸3,贝U b =.解：由余弦定理知b2= a2 + c2—2accoSB=22 + （2^3）2— 2X 2X^/3X c%= 4, b= 2.故填2.（2013陕西）®AABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcosC+ ccosB= asinA,则^ABC 的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解：由已知和正弦定理可得sinBcosC+ sinCcosB= sinA sinA,即sin（B+ Q= sinAsinA, 亦即sinA= sinAsinA.因为0<A<TT,所以sinA= 1, 所以A=2.所以三角形为直角三角形.故选B.在^ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若 a =寸2, b=2, sinB+ cosB=寸2,则角 A解：sinB+ cosB= ^2,,•寸2sin B+4 =寸2,即sin B+4 = 1._____ __ _兀兀_兀乂.. B€ （0,冗）... B+； = ；, B=~.4 2 4a b asinBsinA= b根据正弦正理、皿=sinB，可侍12'. a<b, . . Av B... A=g.故填&类型一正弦定理的应用△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知A— C= 90 , a+ c=寸2b,求C.解：由a+ c=寸2b及正弦定理可得sinA+sinO 2sinB乂由丁A— C= 90 , B= 180 — (A+C),故cosC + sinC = sinA + sinC=戒sin(A + Q =戒sin(90 + 2Q =匝sin2(45 + Q.,•哀sin(45 + C) = 2 戒sin(45 + C)cos(45 + C),* 一1即cos(45 + C) = 2.乂 .。

玄Cv 90°, ... 45 + C= 60°, C= 15°.【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键.(2012江西)在左ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知A= bsin 奇 + C — csin ；+ B =a.r、一 _ 一兀(1)求证：B—C= 2；⑵若a= 艘，求^ABC的面积.-一、一—，兀.一兀._ 解：(1)证明：对bsin 4+ C — csin^+ B =、一__ ______ 兀- 一一一兀 _ a应用正弦正理得sinBsin 4 + C — sinCsin 4 + B=sinA,即sinB 乎sinC+ 乎cosC 一sinC乎sinB+^cosB = g2,整理得sinBcosC- sinCcosB= 1,即sin(B— C) = 1.t - —一3^ _ _ Tt由丁B, CC 0, 4 , B—C=-.一- 3兀(2)L B+ C= ■— A=才，乂由(1)知B- C=项2，B= 8，O 8.a=<2,A=艾，由正弦定理知b=asjnB ，4 sinA5^ asinC 项=2sin8 'c= sinA = 2sin8.Sz\ABb 2bcsinA= ：x 2s釐x 2si#><2 w_：_5兀-兀 k ____ 兀-兀\12 .兀1 = [sin^sq = 2co专sm§=云sin.=].类型二余弦定理的应用在^ABC中，a, b, c分别是角A, B, C⑴求B的大小；⑵若b= 辰,a+ c= 4,求△ ABC的面积.•. . 、、 . a2 + c2-b2解：（1）由余弦定理知，cosB=—舔一,2accosB b /口—=—--------- 得cosC 2a+ ca2 + c2-b22ab b•- - -=—2ac a2 + b2— c2 2a+ c整理得a2 + c2— b2= —ac._ a2 + c2— b2— ac 1.• cosB= 2ac = 20c = —2.2-B为二角形的内角，--B= 3 TT .2⑵将b =而，a+ c= 4, B=a兀代入b2=32a2+ c? — 2accosB，得13= 42— 2ac— 2acco我兀,3 解得ac= 3.1 . 3,3. . Sz\ABb 2acsinB= 4 .【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.若^ABC的内角A, B, C所对的边a, b, c满足(a+b)2— c2= 4,且C= 60°,则ab 的值为( )B.8- 4,3C. 1解：由余弦定理得c2= a2+ b2— 2abcosC=a2 + b2— ab,代入(a+ b)2— c2= 4 中得(a+ b)2—4(a + b? — ab) = 4,即3ab= 4, •,-ab = 3.故选A.类型三正、余弦定理的综合应用（2013全国新课标n ）△ ABC的内角A、B、C的对边分别为a, b, c,已知a= bcosC+ csinB.⑴求B;⑵若b= 2,求^ABC面积的最大值.解：（1）由已知及正弦定理得sinA= sinBcosC + sinCsinB.①乂A=兀一（B+ Q,故sinA= sin（B+ Q = sinBcosC+ cosBsinC.②由①,②和CC （0,兀得sinB= cosB.. 一一.、. it乂B€ （0,兀）所以B=~.1 2（2）AABC的面积S=ZacsinB= ac.由已知及余弦定理得4= a2 + c2-2acco等一 c c - 4乂a2 + c2>ac,故ac 一寸2,的对边，且cosB b cosCT 2a + c.cosC= a2+ b2一苗2ab，将上式代入当且仅当a = c时，等号成立.因此△ ABC面积的最大值为寸2+ 1.【评析】（1）化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；⑵已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值.试判断三角形ABC的形状.解法一：由正弦定理，得tanA sin2AtanB sin2B，sinAcosB sin2A 口口所以诙未=sn§，即所以2A= 2B,或2A+ 2B=兀，因此A= BTt . . —. 一_______ _ 一一，…一或A+ B=2,从而△ ABC是等腰二角形成直角三角形.a2sin2A 解法二：由正弦正理，得snB，所以tanA sin2A cosB sinA +工十人鼻肺=snB，所以诙=繇，再由正、余弦正a2+ c2— b22ac理，侍h2i p2^2 E，化间侍(a—b)(^ —a b 十c — a b2bc(2013山东)®AABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且 a + c= 6, b= 2, cosB=~.9(1)求a, c的值；⑵求sin(A— B)的值.解：(1)由余弦定理b2 = a2+ c2 — 2accosB,得b2= (a+ c)2— 2ac(1 + cosB), 乂a+ c= 6, b = 2,cosB=g,所以ac= 9,解得a = 3, c= 3.9—b2）= 0,即a2= b2或c2= a2+ b2.从而△ ABC是等腰三角形或直角三角形.【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该包等式的边都化为角，然后进行三角函数式的包等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数包等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握.(2)在左ABC中，sinB=寸1 — cos2B=半,9asinB 2.2由正弦正理得sinA= -V = 3 -因为a= c,所以A为锐角，所以cosA= . 1 — sin2A=耳 3因此sin(A — B) = sinAcosB — cosAsinB =10 .：227 -a2sin2AsnB sin2A= sin2B.类型四判断三角形的形状在三角形ABC中，若tanA ： tanB= a2 : b2, （2012 上海^^ABC中，若sin2A+ sin2B<sin2C,则^ ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.解：在^ABC 中，.• sin 2 3A+ sin 2B<sin 2C,<0,即ZC 为钝角，△ ABC 为钝角三角形.故 选C类型五解三角形应用举例某港口。