数学思想方法复习专题一、考点，热点分析：深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。

分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。

常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。

二、知识点归纳：常用的数学思想（数学中的四大思想）1.函数与方程的思想用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。

2．数形结合思想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。

3．分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。

分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。

4.等价转化思想等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。

常用的数学方法主要有换元法、配方法和待定系数法三种。

三、例题解析【例1】（2004年北京市东城区）解方程：(x+1)- -3x+1=2．解：设x ＋1＝y ，则原方程化为y-3y=2去分母，得y 2-2y-3=0．解这个方程，得y 1=-1,y 2=3．当y ＝－1时，x ＋1＝－1，所以x ＝－2； 当y ＝3时，x ＋1＝3，所以x ＝2．经检验，x ＝2和x ＝－2均为原方程的解．〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。

【例2】已知抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则 该抛物线的解析式为 。

)〖解析〗∵函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2,∴b=-4a …①将点（1，4）、（5，0）的坐标分别代入y=ax 2+bx+c 得:a+b+c=4…② 25a+5b+c=0③.解①②③得a=-12,b=2,c=52.故抛物线的解析式为y=-12x 2+2x+52.〖点拨〗利用待定系数法可求函数的解析式、代数式及多项式的因式分解等符合题设条件的数学式。

【例3】（05年长沙市）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120 万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之问存在着如图所示的一次函数关系． ⑴求y 关于x 的函数关系式； ⑵试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；⑶若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？ 〖解〗：⑴设y=kx+b ，它过点(60，5)，(80，4)∴⎩⎨⎧5=60k+b 4=80k+b解得⎩⎪⎨⎪⎧k=-120b=8∴y=-120x+8,⑵z=yx-40y-120=（-120x+8）（x-40）-120=-120x 2＋10x-440;∴当x=100元时，最大年获得为60万元． ⑶令z=40，得40=-120x 2＋10x-440，整理得：x 2-200x ＋9600=0 解得：x 1=80,x 2=120， 由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．…(8分)又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．〖点拨〗解此类问题，要仔细阅读题目，理清思路，从而建立数学模型（函数模型）【例4】（2007年福建漳州）如图，已知矩形ABCD ，AB=3，BC=3，在BC 上取两点E 、F （E 在F 左边），以EF 为边作等边三角形PEF ，使顶点P 在AD 上，PE 、PF 分别交AC 于点G 、H ． （1）求△PEF 的边长；（2）在不添加辅助线的情况下，当F 与C 不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由； （3）若△PEF 的边EF 在线段BC 上移动．试猜想：PH 与BE 有何数量关系？并证明你猜想的结论． [解] （1）过P 作PQ ⊥BC 于Q)B矩形ABCD∴∠B=90°，即AB ⊥BC ，又AD ∥BC ∴PQ=AB=3 ∵△PEF 是等边三角形 ∴∠PFQ=60° 在Rt △PQF 中 Sin60°=3PF,∴PF=2∴△PEF 的边长为2． （2）正确找出一对相似三角形 正确说明理由 △ABC ∽△CDA理由：∵矩形ABCD,∴AB ∥BC,∴∠1=∠2 ∴∠B=∠D ∴△ABC ∽△CDA（3）猜想：PH 与BE 的数量关系是：PH-BE=1 证：在Rt △ABC 中，AB=3,BC=3∴tan ∠1=AB BC =33,∴∠1=30°∴△PEF 是等边三角形∴∠2=60°,PF=PE=2,∵∠2=∠1+∠3 ∴∠3=30°∴∠1=∠3 ∴FC=FH ∵PH+FH=2, BE+EF+FC=3 ∴PH-BE=1〖点评〗本题是一道很典型的几何型探索题，在近几年的中考压轴题中稳占一席之地，预计2008年仍会保持这一趋势。

在本题中，第1小题较简单，第2小题则需学生仔细观察图形，做出准确猜想后再验证，第3小题对学生的探究能力的要求更高一些，但由于解法较多，入题的通道较宽，因此难度并非十分大，体现数学联系的转化思想。

四、【能力测试】 (一)、选择题1．若a 的值使得x 2+4x+a=（x+2）2-1成立，则a 的值为……………………………………（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 2．（2005.杭州市）在右图的几何体中,上下底面都是平行四边形,各个侧面都是梯形,那么图中和下底面平行的直线有: ………………（ ） (A)1条 (B)2条 (C)4条 (D)8条3．方程2x-x 2=2x的正根的个数为……………………………（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．以下四个图案中,既是轴对称又是中心对称图形的有……………………………………（ ）BBA ．４个B ．３个C ．２个D ．１个 5．（2005. 河南省）下列各数中，适合方程的一个近似值（精确到0.1）是 …………………（ ） A ． 1.5 B ． 1.6 C ．1 D ．1.86．若点p （m,n ）在第二象限，则点Q （-m,-n ）在…………………………………（ ）象限A ．第一B ．第二C ．第三D ．第四 7．（2005. 山西省）8抛物线 的对称轴是x=2，且经过点P(3,0)。

则 的值为……………………………（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、28．在直角坐标系中，O 为坐标原点，A(1，1)，在x 轴上确定一点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有( )(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 9．某商店把一商品按标价的九折出售（即优惠10%），仍可获利20%，若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为…………………………………………………………………（ ）. （A ）21元 （B ）19.8元（C ）22.4元 （D ）25.2元 10．（2005.武汉市）已知⊙O 的半径为8cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为………………………………………………………………（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．相交或相离(二)、填空题11．已知关于x 的方程x 2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 。

12．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=25，斜边在x 轴上，点A 的坐标为（2，0），则直角边BC 所在的直线解析式为 。

13．把抛物线2x y -=向上平移2个单位，那么所得抛物线与x的两个交点之间的距离是 .14．如图，用长度相等的火柴棒拼成由三角形组成的图形，第n 个图形需要火柴棒的根数是 。

15．把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把面积为1/2的矩形等分成两个面积为1/4的矩形，再把面积为1/4的矩形等分成两个面积为1/8的矩形，如此进行下去，试利用如下图揭示的规律计算12 + 14 + 18 + 116 + 132 + 164 + 1128 + 1256 =。

141216．（2006年河南省）要拼出和图1中的菱形相似的较长对角线为88cm 的大菱形（如图2）需要图1中的菱形的个数为___________．(三)、计算题:17．如图，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上的点，点C 、D 是线段OA 、OB 的中点，小明很轻松地求得CD =2．他在反思过程中突发奇想：若点O 运动到线段AB 的延长线上或直线AB 外，原有的结论“CD =2”是仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并说明理由．B18．（2005年梅州市）东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据，在图8中的直角坐标系中描出相应的点，观察连结 各点所得的图形，判断p 与x 的函数关系式；（2）如果这种运动服的买入件为每件40元，试求销售 利润y （元）与卖出价格x （元/件）的函数关系式（销售利润=销售收入－买入支出）；（3）在（219．如图，M 为正方形ABCD 边AB 上的任意一点（不与A MN DM ⊥，且交CBE ∠的平分线所在直线于N ． （1）求证：MD MN =；（2）若将上述条件中的“M 为AB 边上的任意一点（不与A 、B 两点重合）”改为“M 为直线AB 上任意一点（不与A 、B 两点重合）”，其余条件不变，则结论“MD MN =”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．20．如图1，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A 在第二象限内，点B ，点C 在x 轴的负半轴上，304CAO OA ==，∠．（1）求点C 的坐标；（2）如图2，将ACB △绕点C 按顺时针方向旋转30到A CB ''△的位置，其中A C'8cm 6cm图1图2A B E D C NM交直线OA 于点E ，A B ''分别交直线OA CA ，于点F G ，，则除A B C AOC ''△≌△外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）（3）在（2）的基础上，将A CB ''△绕点C 按顺时针方向继续旋转，当COE △时，求直线CE 的函数表达式．21．如图，正方形ABCD 的各边都平行于坐标轴，A 、C 分别在直线2y x =和13y x =上.若点A 在直线2y x =上运动，求B 点所在直线的解析式.22．已知：半径为1的⊙O 1与x 轴交于A B ，两点，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过AB ，两点，其顶点为F ．（1）求b c ，的值及二次函数顶点F 的坐标；（2）写出将二次函数2y x bx c =-++的图象向下平移1个单位，再向左平移2个单位的图象的函数表达式；（3）若经过原点O 的直线l 与⊙O 1相切，求直线l 的函数表达式．23．如图,以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为（0，1），直线x =1交x 轴于点B . P 为线段AB 上一动点，作直线P C ⊥P O ,交直线x =1于点C. 过P 点作直线MN 平行于x 轴，交y 轴于点M ，交直线x =1于点N.（1） 当点C 在第一象限时，设AP 长为m ，四边形POBC 的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式； （2） S 是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.附加题：当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线x =1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC 成为等腰三角形图1图2的点P 的坐标；如果不可能，请说明理由.参考答案： 一、 选择题1.C2.C3.A4.B5.C6.D7.B8.A9.A 10.B二、填空题11．2 12.y=12x+4 13. 22；14.2n+1 15.25525616.121三、计算题：17（略）18．解：（1）p 与x 成一次函数关系。