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2004 年第 4 届中国西部数学奥林匹克竞赛
1圣.求所才有的学整数习n网，使w得wnw4 +.61n30+01lxn2u+e3第nx+一i3.1天是c完o全m平方学数.习网 圣才 2 .四边形 ABCD 为一凸四边形， I1 、 I2 分别为 ΔABC 、 ΔDBC 的内心，过点 I1 、 I2 的直线分别交
3 . 求 所 有 的 实 数 k ， 使 得 不 等 式 a3 + b3 + c3 + d 3 +1 ≥ k (a + b + c + d ) 对 任 意 a 、 b 、 c 、
d ∈[−1，+ ∞] 都成立.
圣才学习网 学习网 4 .设n∈ N+ ，用d (n) 表示n的所有正约数的个数，φ (n) 表示1，2 ，"，n中与n 互质的数的个
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3 .已知锐角 ΔABC 的三边长不全相等，周长为 l ， P 是其内部一动点，点 P 在边 B D 、 E 、 F .求证： 2( AF + BD + CE ) = l 的充分必要条件是：点 P 在 ΔABC 的内心与外
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AB 、 DC 于点 E 、 F ，分别延长 AB 、 DC ，它们相交于点 P ，且 PE = PF .求证： A 、 B 、C 、 D
圣才学习网 学习网 四点共圆. 才
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圣才 数.求所有的非负整数 c ，使得存在正整数 n ，满足 d (n) + φ (n) = n + c ，且对这样的每一个 c ，求出所有
满足上式的正整数 网
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圣 个相邻（有公共边）的小方格异色，则称这 2 个小方格为1个“标准对”.设棋盘中“标准对"的个数为 S .
试问： S 是奇数还是偶数由哪些方格的颜色确定？什么情况下 S 为奇数？什么情况下 S 为偶数？说明理
圣才学习网 学习网 由.
才
圣才学习网 学习网 心的连线上.
圣才 4 .求证：对任意正实数 a 、 b 、 c ，都有1 <
a+ a2 + b2
b+ b2 + c2
c c2 + b2
≤
3
2 2
.
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第二天
om 1.设数列{an}满足 a1
=
a2
= 1 ，且 an+2
=
1 an+1
+ an
，n
=1，2
，" .求 a2004
.
圣才学习网www.100xuexi.c 才学习网 2 .将m×n棋盘（由m 行n列方格构成，m ≥ 3，n ≥ 3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2