判定平行四边形的五种方法
平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、
两组对边分别平行
如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF
(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明； (2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
解：（1）选证△BDE≌△FEC 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACD=60°
∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC 是等边三角形 ∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60° ∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC （2）四边形ABDF 是平行四边形
理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF 都是等边三角形 ∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60° ∴AB∥DF，BD∥AF
∵四边形ABDF 是平行四边形。
点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、 一组对边平行且相等
例2 已知：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG
并延长交DE 于F (1)求证：△BCG≌△DCE；
(2)将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形并说明理由。
分析：（2）由于ABCD 是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG ，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD 是平行四边形。
解：（1）∵ABCD 是正方形，
A
F
B
D C
E 图1
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE
（2）∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG，AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形
三、两组对边分别相等
例3 如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△A CE，等边△BCF。
求证：四边形DAEF是平行四边形；
分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°
∴∠DBF=∠ABC
又∵BD=BA，BF=BC ∴△ABC≌△DBF
∴AC=DF=AE同理△ABC≌△EFC
∴AB=EF=AD
∴四边形ADFE是平行四边形
点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。
四、对角线互相平分
例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。
图4
分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。
证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO，
∵∠AOE=∠COG，OA=OC
∴△AOE≌△COG，∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。
五、两组对角相等
例5 将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起
四边形ABCD是平行四边形吗理由。
(1)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B
1C
1
D
1
的位置，四边形ABC
1
D
1
是平行
四边形吗说出你的结论和理由：。
分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°
又∠A=60°，∠C=60°，
∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C
（2）四边形ABC
1D
1
是平行四边形，理由如下：
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B
1C
1
D
1
的位置时，有Rt△C
1
BB
1
≌Rt△ADD
1
∴∠C
1BB
1
=∠AD
1
D，∠BC
1
B
1
=∠DAD
1
∴有∠C
1BA=∠ABD+∠C
1
BB
1
=∠C
1
D
1
B
1
+∠AD
1
B=∠AD
1
C
1
，∠BC
1
D
1
=
∠BC
1B
1
+∠B
1
C
1
D
1
=∠D
1
AD+∠DAB=∠D
1
AB
所以四边形ABC
1D
1
是平行四边形
点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，将
Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B
1C
1
D
1
的位置时，始终有AB∥C
1
D
1
，故ABC
1
D
1
是平行
四边形。
= =。