假设等价于 H 0 : 1 2 s 0 H1 : 1 , 2 ,, s不全为零。
s 1 s 记 n j j — —总平均， 其中 n j n n j 1 j 1
5
（二）平方和分解
定义：总偏差平方和 ST X ij X
观测记录的变量称为“响应变量”（例中的寿命）
3
一般地，对一个单因素试验，假设因素有 s(s>2) 个水平， n 个对象参与了试验。假定对应于因素 第j个水平的组中有 n j 个试验对象，响应变量数 据为 X1 j , X 2 j ,, X n j，j 1,2,, s。
X ij j ij 通常假定 2 ij ~ N (0, ), 各 ij 独立 i 1, 2, , n j，j 1, 2, , s
2
j
A1 : N 1 , X 11 X 21 X n11

A2 : N 2 , X 12 X 22 X n2 2
2

As : N s , X 1s X 2s X ns s
2

4
检验假设
H 0 : 1 2 ... s H1 : 1 , 2 ,..., s不全相等。
2
设第j组有 n j 只老鼠寿命分别为

X ij
i 1, 2,..., n j
j 1, 2,3
这是一个典型的最简单分组试验方案。 分组的依据为药物：a,b,无。
通常，分组的依据称为“因素”，因素的不同
状态称为因素的“水平”。此例因素（药物） 有三个水平：a,b,无。 只有一个因子，按因子的不同水平来分组的试验 称为“单因素试验”。在试验中，对试验对象所
X ij X j X j X 2 X ij X j X j X
2 2 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1
s
nj
s
nj
s
nj
S A SE
X
j 1 i 1
s
nj
ij
X j X j X X j X X ij X j 0
第九章 方差分析及回归分析
关键词： 单因素试验 双因素试验 交互作用 一元线性回归 多元线性回归
1
§1单因素试验的方差分析
（一）单因素试验
例 假设某药物研究者为检验a,b两种化学物质 的抗癌效果，要做动物试验。通常的作法如下 所述：他将一些患有某种癌的白鼠随机地分成 三组。其中两组分别注射a,b两种化学物质，而 第三组则不作处理，作为对照。记第一组：注 射a物质，第二组：注射b物质，第三组：不做 处理。经过一段时间观察后，他得到寿命数据
j 1 i 1
s
nj
SA 从而，检验拒绝域的形式为： c. SE
7
1 s j 2 2 性质2：E ST n j j n 1 E ( X ) E ( X ij ) n j 1 i 1 j 1 s E S A n j j2 s 1 2 1 s j 1 n j ( j ) 2 E SE n s n j 1
nj
ij
, j 1, 2, , s
2
6
误差平方和 SE X ij X j
j 1 i 1
性质1 ：ST S A SE
证明： ST X ij X X ij X j X j X
2 j 1 i 1 j 1 i 1 s nj s nj 2
s
n
s nj s nj 2 2 2 证明：E ST E E X ij nX X ij X j 1 i 1 j 1 i 1
E ( X ij ) nE ( X ) [ ( j ) ] n[
j j ——水平Aj的效应, j 1, 2,..., s
此时有 n11 n2 2 ... ns s 0 模型为：X ij j ij ij (0, 2 ), 各 ij 独立 i 1, 2, , n j，j 1, 2, , s n11 n2 2 ... ns s 0
j 1 i 1
n
s
nj
2
1 s j 1 s X X ij n j X j n j 1 i 1 n j 1
效应平方和 S A n j X j X n j X j 2 nX 2
2 j 1 j 1
s
s
X j
s
1 nj
nj
X
i 1
j 1
j 1 j 1
j 1
s
s
s
性质3 (1) S A与S E 相互独立； (2)
2 ~ (n s)； 2 SA (3)当H 0为真时， 2 ~ 2 ( s 1)。
SE
从而，当H 0为真时，F
2 2
2 2
s
nj
s
nj
2
n
2]
j 1 i 1
j 1 i 1
n 2 n 2 2 n j j n j j 2 2 n 2 n j j2 n 1 2
nj s 2 (n 1) 2 (n s) 2 E ( S E ) E X ij X j j j 1 j 1 i 1 s 8 E ( S A ) E ( ST S E ) n j j2 s 1 2 s