潍坊市2016年高考模拟考试
理科数学
2016．3
本试卷共5页，分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．
第I 卷(选择题 共50分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题号上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设i 是虚数单位，若复数()512i
a a R i
+∈-是纯虚数，则a = A. 1-
B.1
C. 2-
D.2
2.已知集合{}{}2,3,4,5,6,3,5,7,P Q M P Q ===⋂若，则M 的子集个数为 A.5
B.4
C.3
D.2
3.在ABC ∆中，P,Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且11
,33
AP AB BQ BC ==，若,AB a AC b ==，则PQ = A. 1
133
a b +
B. 1133
a b -+
C. 1133
a b -
D. 1133
a b --
4.已知函数()()2
22,log f x x g x x =-+=，则函数()()()F x f x g x =⋅的大致图象为
5.已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三
角形，则双曲线C 的离心率为 A.
5
2
B.
62
C. 3
D. 5
6.已知p ：函数()()()2
1f x x a =--∞在，上是减函数，21
:0,x q x a x
+∀>≤
恒成立，则p ⌝是q 的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.已知两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，以下四个命题： ①若//,//,//,//m n m n αβαβ且则
②若,//,//,m n m n αβαβ⊥⊥且则
③若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥且则 ④若,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥且则 其中正确命题的个数是 A.4 B.3
C.2
D.1
8.设函数()()y f x x R =∈为偶函数，且x R ∀∈，满足[]312,322f x f x x ⎛⎫⎛⎫-
=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，当时，()f x x =，则当[]2,0x ∈-时，()f x =
A. 4x +
B. 2x -
C. 21x ++
D. 31x -+
9.执行如图所示的程序框图，若输出的7n =，则输入的整数K 的最大值是
A.18
B.50
C.78
D.306
10.已知函数()2
ln ln x f x ax x x x
=+--有三个不同的零点123,,x x x （其中
123x x x <<），则2
312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫---
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
的值为 A. 1a -
B. 1a -
C. 1-
D.1
第II 卷（非选择题 共100分）
注意事项：
将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.观察下列各式：
213122+
< 221151233++<
222111712344
+++<
……
照此规律，当()
222111
1231n N n *∈+
++⋅⋅⋅+<+时，____________. 12.已知ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且
cos cos 3cos a B b A c C ⋅+⋅=⋅，则cos C =___________.
13.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自
阴影部分的概率为__________.
14.将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子
里至少放1个，则恰有1个盒子和有2个连号小球的所有不同放法有___________种.（用数字作答） 15.已知抛物线2
2y px =的准线方程为1x =-焦点为F ，A ，B ，C 为该抛物线上不同的三点，
,,FA FB FC 成等差数列，且点B 在x 轴下方，若0FA FB FC ++=，则直线AC 的方程为
___________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分） 已知函数()4sin cos 44
f x x x x ππ
ωω⎛⎫
=-
⋅= ⎪⎝
⎭在处取得最值，其中()0,2ω∈. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）将函数()f x 的图象向左平移
36
π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标
不变，得到函数()y g x =的图象，若α为锐角，()4
23
g α=
-，求cos α.
17. （本小题满分12分）
如图所示几何体中，四边形ABCD 和四边形BCEF 是全等的等腰梯形，且平面BCEF ⊥平面ABCD ，AB//DC ，CE//BF ，AD=BC ，AB=2CD ，∠ABC=∠CBF=60°，G 为线段AB 的中点. （I ）求证：AC BF ⊥；
（II ）求二面角D FG B --（钝角）的余弦值. 18. （本小题满分12分）
已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
1111,n n n a S S a ++=+=，数列
{}n b 满足1131n
a n n
b b b +⋅==，且.
（I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）记21412n n n n T a b a b a b -=++⋅⋅⋅+，求n T .
19. （本小题满分12分）
某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见右表.规定：A 、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级.
为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照
[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直
方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.
（I ）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值；
（II ）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；
（III ）在选取的样本中，从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.
20. （本小题满分13分）
已知椭圆()22
22:10x y E a b a b +=>>的离心率e =过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆
222x y b +=相交所得弦的长度为1.
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）若动直线l 交椭圆E 于不同两点()()()112211,,,=,,M x y N x y OP bx ay OQ =，设()22,bx ay ，O 为坐标原点.当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：MON ∆的面积为定值，并求出该定值.
21. （本小题满分14分） 函数()()
()()2
,x f x x a x b e a b R =-+∈.
（I ）函数0,3a b ==-时，求函数()f x 的单调区间； （II ）若()x a f x =是的极大值点. （i ）当0a =时，求b 的取值范围；
（ii ）当a 为定值时，设()123,,x x x f x 是的3个极值点.问：是否存在实数b ，可找到4x 使得
1234,,,x x x x 的某种排列成等差数列？若存在，求出所有的b 的值及相应的4x ；若不存在，说明理由.
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