2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合2{|230}A x x x =--，{|2x B x =，则(A B == )A ．1[,3]2B ．1[,1]2C ．1[3,]2-D ．[2，3]2．（5分）欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足()i e i z i π+= ，则||(z =)A ．1B．2C．2D3．（5分）若实数x ，y 满足约束条件240403230x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩，则2z x y =-的最小值是()A ．5-B ．4-C ．7D ．164．（5分）已知()f x 为奇函数，当0x <时，2()(x f x e ex e -=-是自然对数的底数），则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是()A ．y ex e =-+B ．y ex e=+C ．y ex e=-D ．11(22y e x e e e=--+5．（5分）若cos801m ︒︒=，则(m =)A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．（5分）已知函数()tan()(0,02f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于点(,0)6π成中心对称，且与直线y a =的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是()A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 图象的对称中心为(,0)()6k k Z ππ+∈C ．函数()f x 的图象可由tan 2y x =的图象向左平移6π得到D ．函数()f x 的递增区间为(,)()2326k k k Z ππππ-+∈7．（5分）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄)和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d ．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是()①由图1和图2面积相等可得ab d a b =+；②由AE AF 可得2222a b a b ++；③由AD AE 222112a b a b++；④由AD AF 可得222a b ab + ．A ．①②③④B ．①②④C ．②③④D ．①③8．（5分）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A ，B ，C 三个扶贫项目的意向如表：扶贫项目ABC贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有()A ．24种B ．16种C ．10种D ．8种9．（5分）某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半6，则当此几何体的体积最小时，它的表面积为()A ．24πB ．(183)π+C ．21πD ．(1842)π+10．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(3,0)D 的直线交抛物线C 于点A ，B ，若||||13FA FB -= ，则(FA FB = )A ．9-B ．11-C ．12-D ．311．（5分）若关于x 的不等式224ax a x lnx ->--有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是()A ．(23ln -，22]ln -B ．(,22)ln -∞-C ．(-∞，23]ln -D ．(,23)ln -∞-12．（5分）在三棱锥P ABC -中，二面角P AB C --、P AC B --和P BC A --的大小均等于3π，::3:4:5AB AC BC =，设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，直线PO 与平面ABC 交于点Q ，则(POOQ=)A ．14B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13．（5分）已知向量a和b 满足|||2|2a a b =-= ||1a b -= ，则a b =．14．（5分）三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者，在某次三人制足球传球训练中，A 队有甲、乙、丙三名队员参加．甲、乙丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第4次传球后，球仍回到甲的概率等于．15．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上一个动点，若BPF ∆周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C 的渐近线方程为．16．（5分）已知ABC ∆三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，sin()B A -，sin A ，sin C 成等差数列，则：（1）C =；（2）tan tan AB=．三、解答题：本大题共5小题，满分60分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21a =，714S =，数列{}n b 满足221232n nn b b b b +⋯= ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足cos()n n n c b a π=，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．18．（12分）如图（1），在矩形ABCD 中，E ，F 在边CD 上，BC CE EF FD ===沿BE ，AF 将CBE ∆和DAF ∆折起，使平面CBE 和平面DAF 都与平面ABEF 垂直，如图（2）．（1）试判断图（2）中直线CD 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）求平面ADF 和平面DEF 所成锐角二面角的余弦值．19．（12分）已知椭圆C 的方程为22143x y +=，斜率为12的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点3(1,)2P 在直线l 的左上方．（1）若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，求此时直线l 的方程；（2）求证：PAB ∆的内切圆的圆心在定直线1x =上．20．（12分）某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A 是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案B 是对原有生产线进行技术改造，由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出如表：市场销售状态畅销平销滞销市场销售状态概率(01)p <<2p13p-p预期平均年利润（单位：万元）方案A 700400400-方案B600300100-（1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？（2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品）的年产量为x （万件），通过核算，实行方案A 时新产品的年度总成本1y （万元）为32118101603y x x x =-++，实行方案B 时新产品的年度总成本2y （万元）为32213201003y x x x =-++．已知0.2p =，20x ．若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价t （元)分别为60，3604x -，60x -，且生产的新产品当年都能卖出去试问：当x 取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．21．（12分）已知函数()sin (x f x e x e =是自然对数的底数）．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）记()()g x f x ax =-，若03a <<，试讨论()g x 在(0,)π上的零点个数．（参考数据24.8)e π≈请考生在第22、23题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 4sin (129cos sin 55x y ϕϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()3πρθ+=．（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，(2,0)M ，求||||MP MQ +的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|1||35|x x m -+-<的解集为3(,)2n ．（1）求n 的值；（2）若三个正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，证明：2222222b c c a a b a b c+++++ ．2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合2{|230}A x x x =--，{|2x B x =，则(A B == )A ．1[,3]2B ．1[,1]2C ．1[3,]2-D ．[2，3]【解答】解： 1{|13},{|}2A x x B x x =-= ，∴1[,3]2A B = ．故选：A ．2．（5分）欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足()i e i z i π+= ，则||(z =)A ．1BCD【解答】解：由cos sin i e i θθθ=+，得cos sin 1i e i πππ=+=-，则由()i e i z i π+= ，得(1)111(1)(1)22i i i z i i i i --===--+-+--，||z ∴==故选：B ．3．（5分）若实数x ，y 满足约束条件240403230x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩，则2z x y =-的最小值是()A ．5-B ．4-C ．7D ．16【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由2z x y =-，得2y x z =-，平移直线2y x z =-，由图象可知当直线2y x z =-经过点(0,4)A 时，直线2y x z =-的截距最大，此时z 最小．此时z 的最小值为0244z =⨯-=-，故选：B ．4．（5分）已知()f x 为奇函数，当0x <时，2()(x f x e ex e -=-是自然对数的底数），则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是()A ．y ex e =-+B ．y ex e=+C ．y ex e=-D ．11(22y e x e e e=--+【解答】解：()f x 为奇函数，当0x <时，2()x f x e ex -=-，∴当0x >时，2()x f x e ex =-+，∴此时())2x f x e ex '==-+，()f x ∴在1x =处的切线斜率k f '=（1）e =，又f （1）0=，()f x ∴在1x =处的切线方程为y ex e =-．故选：C ．5．（5分）若cos801m ︒︒=，则(m =)A ．4B ．2C ．2-D ．4-【解答】解：cos801m ︒+︒= ，sin101m ∴︒=，可得sin10cos10cos100m ︒︒︒-︒=，∴1sin 202sin 202m ︒=︒，∴122m =，解得4m =．故选：A ．6．（5分）已知函数()tan()(0,02f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于点(,0)6π成中心对称，且与直线y a =的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是()A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 图象的对称中心为(,0)()6k k Z ππ+∈C ．函数()f x 的图象可由tan 2y x =的图象向左平移6π得到D ．函数()f x 的递增区间为(,)()2326k k k Z ππππ-+∈【解答】解： 直线y a =的两个相邻交点间的距离为2π，∴函数()f x 的最小正周期为2π，A 错，∴22πωπ==， 图象关于点(,0)6π成中心对称，262k ππϕ∴⨯+=，k Z ∈，6πϕ∴=．∴函数()f x 图象的对称中心为(26k ππ+，0)，k Z ∈，B 错；()tan(26f x x π∴=+，∴函数()f x 的图象可由tan 2y x =的图象向左平移12π得到，C 错；2262k x k πππππ-+<+<+ ，∴函数()f x 的递增区间为(,)()2326k k k Z ππππ-+∈，D 对．故选：D ．7．（5分）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄)和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d ．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是()①由图1和图2面积相等可得ab d a b =+；②由AE AF 可得2222a b a b ++；③由AD AE 222112a b a b++；④由AD AF 可得222a b ab + ．A ．①②③④B ．①②④C ．②③④D ．①③【解答】解：由图1和图2面积相等()ab a b d =+，可得abd a b=+，①对；由题意知图3面积为221122ab a b =+，22AF a b=+221122AD BC a b ==+图3设正方形边长为x ，由三角形相似，a x x x b x -=-，解之得abx a b=+，则2ab AE a b =+；可以化简判断②③④对，故选：A ．8．（5分）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A ，B ，C 三个扶贫项目的意向如表：扶贫项目ABC贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有()A ．24种B ．16种C ．10种D ．8种【解答】解：以选C 项目的户数2，1，0为标准分为3类，（1）C 项2户，有4种选法；（2）C 项1户，若是丁有6种选法，若是丙有3种选法，共有9种选法；（3）C 项0户，有3种选法．则由加法原理共有49316++=种，故选：B ．9．（5分）某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为6，则当此几何体的体积最小时，它的表面积为()A ．24πB ．(183)π+C ．21πD ．(1842)π+【解答】解：设半球的内接圆柱底面半径为r ，高为h ；则球的半径为6R =226r h +=；此时几何体的体积为()(322314646664623V V V r h h h h h πππππ=-=⋅⋅-=--=-+半球圆柱；设3()66f h h h =-+，6)h ∈，则2()36f h h '=-，令()0f h '=，解得2h =；所以2)h ∈时，()0f h '<，()f h 单调递减；(2h ∈6)时，()0f h '>，()f h 单调递增；所以2h =()f h 取得最小值为(2)2262662f =．此时圆柱的底面半径为22；所以该几何体的表面积为221422(182S ππππ=++=+ ．故选：D ．10．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(3,0)D 的直线交抛物线C 于点A ，B ，若||||FA FB -= ，则(FA FB = )A ．9-B ．11-C ．12-D ．【解答】解：设直线AB 方程为3x my =+点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y||||FA FB -=，∴12x x -=．⇒21212()413x x x x +-=联立234x my y x =+⎧⎨=⎩，可得24120y my --=．124y y m ∴+=，1212y y =-． 21212()16y y x x =，129x x ∴=，127x x ∴+=．则1212212121212(1)(1)(1)()19FA FB x x y y x y y x x x x y y =--+-+=-+++=-．故选：A ．11．（5分）若关于x 的不等式224ax a x lnx ->--有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是()A ．(23ln -，22]ln -B ．(,22)ln -∞-C ．(-∞，23]ln -D ．(,23)ln -∞-【解答】解：由题意可知，224ax a x lnx ->--，设()24g x x lnx =--，()2h x ax a =-由121()2x g x x x -'=-=．可知()24g x x lnx =--在1(0,2上为减函数，在1(2，)+∞上为增函数，()2h x ax a =-的图象恒过点(2,0)，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图象如图，当0a 时，原不等式有且只有两个整数解；当0a >时，若原不等式有且只有两个整数1x ，2x ，使得1()0f x >，且2()0f x >，则0(1)(1)(3)(3)a h g h g >⎧⎪>⎨⎪⎩ ，即0223a a a ln >⎧⎪->-⎨⎪-⎩，解得023a ln <- ，综上可得23a ln - ，故选：C．12．（5分）在三棱锥P ABC -中，二面角P AB C --、P AC B --和P BC A --的大小均等于3π，::3:4:5AB AC BC =，设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，直线PO 与平面ABC 交于点Q ，则(POOQ=)A ．14B ．2C ．3D ．4【解答】解：依题意，点P 在平面ABC 内的射影为三角形ABC 内切圆的圆心N ，设内切圆的半径为r ，则1134(345)22r ⨯⨯=⨯++，解得1r =，又二面角P AB C --、P AC B --和P BC A --的大小均等于3π，故tan13PN r π=== ，设ABC ∆的外接圆圆心为M ，易知OM ⊥平面ABC ，又PN ⊥平面ABC ，故//OM PN ，则点O ，M ，P ，N 四点共面，且平面ABC ⋂平面OMPN MN =，又Q 在平面APC 内，且Q 在平面OMPN 内，Q ∴在MN 上，即Q ，M ，N 三点共线；现在研究NM的长度，如图，易知，512,222BE EM BM BE ==-=-=，故2MN ==，显然2NM OF ==，设OM x=，由OP OB =，即可知，=3x =，∴133OQOM PQ PN ===，∴441PO OQ==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13．（5分）已知向量a和b满足|||2|a a b =-= ||1a b -= ，则a b = 1．【解答】解： 向量a和b满足|||2|a a b =-= ，||1a b -= ，∴22442a a b b -+=；①2221a a b b -+= ，②22a =，③联立①②③可得：1a b =．故答案为：1．14．（5分）三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者，在某次三人制足球传球训练中，A 队有甲、乙、丙三名队员参加．甲、乙丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第4次传球后，球仍回到甲的概率等于38．【解答】解：所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙→甲；甲→乙→甲→乙→丙；甲→乙→甲→丙→甲；甲→乙→甲→丙→乙；甲→乙→丙→甲→乙；甲→乙→丙→甲→丙；甲→乙→丙→乙→甲；甲→乙→丙→乙→丙；甲→丙→甲→乙→甲；甲→丙→甲→乙→丙；甲→丙→甲→丙→甲；甲→丙→甲→丙→乙；甲→丙→乙→甲→乙；甲→丙→乙→甲→丙；甲→丙→乙→丙→乙；甲→丙→乙→丙→乙甲．则共有16种方法．第4球恰好传回给甲的有6情况，∴经过4次传球后，球仍在甲手中的概率是63168p ==．故答案为：3815．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上一个动点，若BPF ∆周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C 的渐近线方程为2y x=±．【解答】解：由题意可得(0,)B b ，(,0)F c ，设(,0)F c '-，由双曲线的定义可得||||2PF PF a '-=，||||2PF PF a '=+，||||BF BF '==则BPF ∆的周长为|||||||||||2||PB PF BF PB PF a BF ''++=+++2||2BF a '+ ，当且仅当B ，P ，F '共线，取得最小值，且为2a +由题意可得82a a =+，即2222292a b c b a =+=+，即224a b =，可得2ba=，所以双曲线的渐近线方程为：2y x =±．故答案为：2y x =±．16．（5分）已知ABC ∆三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，sin()B A -，sin A ，sin C 成等差数列，则：（1）C =12π；（2）tan tan AB=．【解答】解：（1）由sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，可得2sin sin sin B A C =，即2b ac =，sin()B A - ，sin A ，sin C 成等差数列，2sin sin()sin sin()sin()2sin cos A B A C B A B A B A =-+=-++=，所以sin sin cos A B A =，所以2222b c a a b bc+-= 即222222b c a ac b +-==，222a b c ∴+=，12C π∴=，（2）由（1）可得12A B π+=，且22sin sin cos cos 1sin A B A A A ===-，解可得，sin cos A B ==，cos sin A B ==∴22tan sin cos 1tan sin cos 2A A B sin A B B A cos A ===．故答案为：1122π．三、解答题：本大题共5小题，满分60分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21a =，714S =，数列{}n b 满足221232n nn b b b b +⋯= ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足cos()n n n c b a π=，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的公差设为d ，由21a =，714S =，可得11a d +=，172114a d +=，解得112a d ==，则111(1)222n a n n =+-=；由221232n nn b b b b +⋯= ，可得(1)212312(2)n n n b b b b n --⋯= ，两式相除可得2(2)n n b n = ，对1n =也成立，故2(*)n n b n N =∈；（2）1cos()2cos()2n n n n c b a n ππ==，则2342122312cos2cos 2cos 2cos(2)2cos((21))2cos()222n n n T n n ππππππ-=++++⋯+-+124224624(1(4))4(4)2cos 2cos(2)2cos()222(1)2145n n nnnn πππ+---+-=++⋯+=-+-+⋯+-==-+ ．18．（12分）如图（1），在矩形ABCD 中，E ，F 在边CD 上，BC CE EF FD ===沿BE ，AF 将CBE ∆和DAF ∆折起，使平面CBE 和平面DAF 都与平面ABEF 垂直，如图（2）．（1）试判断图（2）中直线CD 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）求平面ADF 和平面DEF 所成锐角二面角的余弦值．【解答】解：（1）//CD AB ，理由如下：连结CD ，分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连结DM ，CN ，MN ，由图（1）可得，ADF ∆与BCE ∆都是等腰直角三角形且全等，则DM AF ⊥，CN BE ⊥，DM CN =，如图，平面ADF ⊥平面ABEF ，交线为AF ，DM ⊂平面ADF ，DM AF ⊥，DM ∴⊥平面ABEF ，同理得CN ⊥平面ABEF ，//DM CN ∴，DM CN = ，∴四边形CDMN 为平行四边形，//CD MN ∴，M ，N 分别为AF ，BE 的中点，//MN AB ∴，//CD AB ∴．（2）在AB 边上取一点P ，使得AP DF =，由图（1）得ADFP 为正方形，即AP FP =，M 为AF 中点，MP MA ∴⊥，由（1）知MD ⊥平面ABEF ，MA ∴，MP ，MD 两两垂直，以M 为坐标原点，直线MA ，MP ，MD 分别为坐标轴，建立空间直角坐标系，设2AF =，则(0D ，0，1)，(1A ，0，0)，(0P ，1，0)，(1F -，0，0)，∴(1FD = ，0，1)，(1FE AP ==-，1，0)，设平面DFE 的一个法向量为(m x =，y ，)z ，由00FD m FE m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00x z x y +=⎧⎨-+=⎩，取1x =，得(1m = ，1，1)-，平面ADF 的法向量(0n =，1，0)，设平面ADF 和平面DEF 所成锐角二面角为θ，则平面ADF 和平面DEF 所成锐角二面角的余弦值为：||3cos ||||3m n m n θ==．19．（12分）已知椭圆C 的方程为22143x y +=，斜率为12的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点3(1,)2P 在直线l 的左上方．（1）若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，求此时直线l 的方程；（2）求证：PAB ∆的内切圆的圆心在定直线1x =上．【解答】解（1）设l 的方程为12y x m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与椭圆的方程221234120y x mx y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩，整理可得2230x mx m ++-=，则12x x m +=-，2123x x m =-，△224(3)0m m =-->，解得22m -<<，又因为点3(1,)2P 在直线的左上方，所以21m -<<，若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，则220AF BF =，即1(1x -，12)(1y x -- ，2)0y -=，化简可得274110m m +-=，解得117m =-，或1m =（舍)，所以直线l 的方程为：11127y x =-；（2）证明：因为1212121212333131112222221(1)()111111PA PB y y x m x mk k m x x x x x x ------+=+=+=+-+------12212122()21(1)1(1)01()13x x mm m x x x x m m -++=+-=+-=-++++-，所以直线1x =平分APB ∠，即证明了PAB ∆的内切圆的圆心在定直线1x =上．20．（12分）某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A 是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案B 是对原有生产线进行技术改造，由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出如表：市场销售状态畅销平销滞销市场销售状态概率(01)p <<2p 13p-p 预期平均年利润（单位：万元）方案A 700400400-方案B600300100-（1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？（2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品）的年产量为x （万件），通过核算，实行方案A 时新产品的年度总成本1y （万元）为32118101603y x x x =-++，实行方案B 时新产品的年度总成本2y （万元）为32213201003y x x x =-++．已知0.2p =，20x ．若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价t （元)分别为60，3604x -，60x -，且生产的新产品当年都能卖出去试问：当x 取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．【解答】解：（1）根据概率的性质，021010131p p p <<⎧⎪<<⎨⎪-<⎩，得103p < ，若E （A ）E >（B ），400200300200p p ->+，得104p <<；若E （A ）E =（B ），14p =；若E （A ）E <（B ），1143p < ；故当104p <<时，选择方案A ；若14p =，则选择方案A 或B ；若1143p < ，则选择方案B ；（2）因为0.2p =，根据（1），选择方案A ，年产量为x （万件）与新产品的年度总成本的关系为：32118101603y x x x =-++，设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为160x y -，113(60),(60)4x x y x x y ----，新产品年利润的随机变量X 的分布列为：X 160x y -13(60)4x x y --1(60)x x y --P0.40.40.21113()0.4(60)0.4[(60)]0.2[(60)]4E X x y x x y x x y =-+--+--322155016032x x x =-++-，设32215()5016032f x x x x =-++-，(0x ∈，20]，由2()21550(25)(10)f x x x x x '=-++=-+-，当(0,10)x ∈时，()0f x '>，函数递增；当(10,20)x ∈时，()0f x '<，函数递减，故当10x =（万件）时，函数()f x 有最大值(10)423.3f ≈（万元），由（1）知，E （A ）400200360p =-=（万元）423.3<（万元），故当年产量为10万件时，可达到或超过预期的平均年利润．21．（12分）已知函数()sin (x f x e x e =是自然对数的底数）．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）记()()g x f x ax =-，若03a <<，试讨论()g x 在(0,)π上的零点个数．（参考数据24.8)e π≈【解答】解：（1）()sin x f x e x =的定义域为R ，()(sin cos )(4x x f x e x x e x π'=+=+，由()0f x '<，得sin(04x π+<，解得3722()44k x k k Z ππππ+<<+∈，()f x ∴的单调递减区间3(24k ππ+，72)()4k k Z ππ+∈，（2）由已知得()sin x g x e x ax =-，()(sin cos )x g x e x x a ∴'=+-，令()()h x g x ='，则()2cos x h x e x '=，(0,)x π∈ ，(0,)2x π∴∈时，()0h x '>，(2x π∈，)π时，()0h x '<，()h x ∴在(0,)2π上单调递增，在(2π，)π上单调递减．(0)1g a '=- ，()0g e a ππ'=--<，①当10a - ，即01a < 时，(0)0g ' ，()02g π∴'>，0(2x π∴∃∈，)π，使得0()0g x '=，∴当0(0,)x x ∈，0()0g x '>，当0(x x ∈，)π时，()0g x '<，()g x ∴在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)π单调递减；(0)0g = ，0()0g x ∴>，又()0g a ππ=-< ，∴由零点存在定理得，此时()g x 在(0,)π上仅有一个零点，②若13a <<时，(0)10g a '=-<，又()(0g x ' ，2π上单调递增，在(2π，)π上单调递减，又2()02g e a ππ'=->，1(0,2x π∴∃∈，2(2x π∈，)π，使得1()0g x '=，2()0g x '=，且当1(0,)x x ∈、2(x x ∈，)π时，()0g x '<，当1(x x ∈，2)x 时，()0g x '>，()g x ∴在1(0,)x ∈和2(x ，)π上单调递减，在1(x ，2)x 单调递增．(0)0g = ，1()0g x ∴<，223()0222g e a e πππππ=->-> ，2()0g x ∴>，又()0g a ππ=-< ，由零点存在定理可得，()g x 在1(x ，2)x 和2(x ，)π内各有一个零点，即此时()g x 在(0,)π上有两个零点，综上所述，当01a < 时，()g x 在(0,)π上仅有一个零点，当13a <<时，()g x 在(0,)π上有两个零点．请考生在第22、23题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 4sin (129cos sin 55x y ϕϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()3πρθ+=．（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，(2,0)M ，求||||MP MQ +的值．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得，曲线C 的普通方程为221259x y +=．sin()3πρθ+=，∴cos sin 0θρθ+-，∴直线l的直角坐标方程为0y +-=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）设直线l的参数方程为122(x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴12126,97t t t t +==-． 点(2,0)M 在直线l 上，∴12||||||MP MQ t t +=-===⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|1||35|x x m -+-<的解集为3(,)2n ．（1）求n 的值；（2）若三个正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，证明：2222222b c c a a b a b c+++++ ．【解答】解：（1）由题意知，32为方程|1||35|x x m -+-=的根，∴39|1||5|22m -+-=，解得1m =，由|1||35|1x x -+-<解得3724x <<，∴74n =；（2）证明：由（1）知，1a b c ++=，∴222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c+++++++ 2222222()a b b c c a abc=++2222222222221[()()()]a b b c b c c a c a a b abc =+++++22212(222)()2abc ab c bc a ca b a b c abc abc++=++= ，∴2222222b c c a a b a b c+++++ 成立．。