第5章 代数系统的一般性质 章
5.1 二元运算及其性质
5.2 代数系统及其子代数和积代数
5.3 代数系统的同态与同构
5.1 二元运算及其性质
一.二元运算
定义:设S为集合,函数 f:S×S->S称为S上的一个二元运算, (对运算封闭）简称为二元运算.通常用 o,*,·等符号 表示二元运算,称为算符.
三.积代数
定义:设V1=<S1,o >,V2=<S2,*>是代数系统,o和*为二元运算, o V1和V2的积代数V1×V2是含有一个二元运算·的代数系统, 即V1×V2 =<S,·> 其中S=S1×S2 ∀ 且对∀<x1,y1>,<x2,y2>∈S1×S2 有 <x1,y1>·<x2,y2>=<x1ox2,y1*y2>
例如:N.Z,Q,R上的加法和乘法是可结合的. P(S)上的∪,∩,⊕是可结合的. Mn(R)上的加法和乘法是可结合的
幂等律: ∀x∈S,有x·x=x; x称为幂等元.
例如:幂集P(S)上的∪和∩运算适合幂等律(A∪A=A, A∩A=A),但对称差⊕运算不适合幂等律.
分配律: ∀x,y,z∈S,有 x*(y·z)=(x*y)·(x*z) (y·z)*x=(y*x)·(z*x) 称*对·适合分配律.
定义:设V=<S,f1,f2,…,fk>是代数系统,B⊆S 且B≠φ 如果B对f1,f2,…,fk都是封闭的,且B和S含有相同的代数 常数,则称<B,f1,f2,…,fk>是V的子代数系统(子代数).
例如:<N,+>是<Z,+>的子代数. <N,+,0>是<Z,+,0>的子代数. <N-{0},+>是<Z,+>的子代数,但不是<Z,+,0>的子代数. 说明:对任何代数系统V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代数一定存在,最大的子代 数就是V本身;如果令V中所有的代数常数构成的集合是B,且B对V中所 有的运算都是封闭的,那么B就构成了V的最小的子代数;这种最大与 最小的子代数称为V的平凡子代数;如果V的子代数V’=<B,f1,f2,…,fk> 满足B⊂S,则称V’是V的真子代数.
例5.6 (1)V=<Z,+>,给定a∈Z,令Ψa:Z->Z, Ψa(x)=ax ∀z1,z2∈Z,有 Ψa(z1+z2)=a(z1+z2)=az1+az2=Ψa(z1)+Ψa(z2) 所以Ψa是V到自身的同态(自同态)
当a=0时, Ψa(x)=0,称Ψa为零同态,其同态象<{0},+> 当a=1时, Ψ1(x)=x,Ψ1为双射,其同态象为<Z,+>, 所以Ψ1是V的自同构,同理可证Ψ-1也是V的自同构. 当a≠1且a≠0时, Ψa(x)=ax,易证Ψa是单射的,Ψa是 V的单同态,其同态象为<aZ,+>是<Z,+>的真子集.
例5.1(1)自然数集N上的乘法是N上的二元运算,但除法不是. (2)整数集合Z上的加法,减法和乘法是Z上的二元运算,而除法不是. (3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算,而加法和减法不是. (4)Mn(R)上的加法和乘法是Mn(R )上的二元运算. (5)S为任意集合,则∪,∩,～,⊕为S的幂集P(S)上二元运算 (6)S为集合,SS是S上的所有函数集合,则合成运算是SS上的二元运算.
例如:在实数上乘法对加法是可分配的 在Mn(R)上矩阵的乘法对加法是可分配的. 在幂集P(S)上∪和∩是互相可分配的.
吸收律:设·和*是S上的两个可交换的二元运算, ∀x,y∈S,有x*(x·y)=x ∀ x·(x*y)=x 则称·和*满足吸收律.
例如:在幂集P(S)上∪和∩是满足吸收律的. (A∩(A∪B)=A, A∪(A∩B)=A)
例如:在N上加法只有0∈N,有逆元0;在Z上加法幺元为0, 逆元为它的相反数. Mn(R)上乘法矩阵的幺元是单位矩阵,它的逆元是逆矩阵. P(S)上∪运算的幺元是φ,只有φ有逆元,就是它自己.
5.2 代个运算f1,f2,…,fk组成的系统, 称为一个代数系统,简称代数.记作<S,f1,f2,…,fk> 例如:<N,+>,<Z,+,·>,<R,+,·>都是代数系统. <Mn(R),+,·>是代数系统. <P(S),∪,∩,～>是代数系统.
5.3 代数系统的同态与同构
一.代数系统的同态
定义:设V1=<S1,·>,V2=<S2,*>是代数系统,·和*是二元运算, 如果存在映射Ψ:S1->S2,满足∀x,y∈S1 有 Ψ(x·y)=Ψ(x)*Ψ(y) 则称Ψ是V1到V2的同态映射,简称同态.
例如:V1=<Z,+>,V2=<Zn ,⊕>,其中+为普通加法,⊕为模n加法 即∀x,y∈Zn ,有x⊕y=(x+y)mod n , Zn={0,1,2,…,n-1} 令Ψ:Z->Zn , Ψ(x)=(x)mod 则∀x,y∈Z 有 Ψ(x+y)=(x+y)mod n=(x)mod n⊕(y)mod n=Ψ(x)⊕Ψ(y) 所以Ψ是V1到V2的同态.
例如:N上的乘法的零元是0,而加法无零元. Mn(R)上乘法矩阵零元是零元矩阵.而加法无零元. P(S)上∪运算的零元是S,∩运算的零元是φ. 如下二元运算表的幺元是c。
* a b c a c c a b c a b c a b c
逆元:设·为S上的二元运算,e∈S为运算·的幺元, ∀x∈S, 若∃yl(或yr)∈S,使得yl·x=e(或x·yr=e), 则称yl(或yr)为x的左(或右)逆元. 若y∈S既是x的左逆元,又是x的右逆元, 则称y是x的逆元,并且逆元是唯一的,记作x-1.
消去律: ∀x,y∈S,有(1)若 x·y=x·z且x不是零元,则y=z (2)若 y·x=z·x且x不是零元,则y=z
例如:Z,Q,R上的加法,乘法满足消去律 P(S)上的⊕满足消去律,但∪不满足消去律( A∪B=A∪C 非有B=C)
2.幺元,零元和逆元 ∃ ∀ 幺元:若∃el(或er)∈S,使得∀x∈S,都有el·x=x(或x·er=x) 则el(或er)为左幺元(或右幺元); 若e∈S既是左幺元,又是右幺元,则称e为S上关于运算· 的幺元.并且幺元是唯一的.
例如: 设V1=<Z,+>,V2=<Mn(R),·>,其中+和·分别表示整数加法和矩阵乘法. 那么V1×V2 =<Z×Mn(R),o> ,∀<z1,M1>,<z2,M2>∈Z×Mn(R) 有 <z1,M1>o<z2,M2>=<z1+z2,M1·M2> 如果V1=<Z,+,0>,V2=<Mn(R),·,E>, 则V1×V2 =<Z×Mn(R),o,<0,E>> . ,
说明:若代数系统中,对于给定的二元运算存在幺元和零元, 则幺元和零元称为该系统的特异元素或代数常数. 例如: <Z,+>的幺元是0,可记为 <Z,+,0> <P(S),∪,∩,～>中∪和∩的幺元分别为φ和S,可记为 <P(S),∪,∩,～,φ,S >.
二.子代数系统(子代数) 子代数系统(子代数)
n
又如令Ψ:R->R+,Ψ(x)=ex,那么Ψ是<R,+>到<R+,*>的同态. 因为∀x,y∈R,有 Ψ(x+y)=ex+y =ex*ey=Ψ(x)*Ψ(y)
定义:设Ψ是V1=<S1,·>到V2=<S2,*>的同态,则称<Ψ(S1),*> 是V1在Ψ下的同态象.
二.同构
定义:设Ψ是V1=<S1,·>到V2=<S2,*>的同态, 如果Ψ是满射的,则称Ψ为V1到V2的满同态,记V1～V2 如果Ψ是单射的,则称Ψ为V1到V2的单同态, 如果Ψ是双射的,则称Ψ为V1到V2的同构,记V1≌V2
例5.5 设V=<Z,+,0>,令nZ={nz|z∈Z} n为自然数 那么,nZ是V的子代数. 证明:nZ是Z的子集,且∀nz1,nz2∈nZ(z1,z2∈Z) 有nz1+nz2=n(z1+z2)∈nZ (z1+z2∈Z) 所以nZ对Z运算是封闭的. 又0是nZ的代数常数, 故<nZ,+,0>是<Z,+,0>的子代数. 当n=1时,nZ就是V本身. 当n=0时,0Z={0}是V的最小的子代数.
例如:N上的加法幺元是0,乘法的幺元是1; Mn(R)上加法的幺元是零元矩阵,乘法矩阵是单位矩阵. P(S)上∪运算的幺元是φ,∩运算的幺元是S.
零元:若∃θl(或θr)∈S,使得∀x∈S,都有θl·x=θl (或x·θr=θr),则称θl(或θr)为左零元(或右零元). 若θ∈S既是左零元,又是右零元, 则称θ为S上关于运算·的零元.并且零元θ是唯一的.
二.运算性质
1.算律 交换律: ∀x,y∈S,有x·y=y·x
例如:实数集上的加法和乘法是可交换的,但减法不可交换. 幂集P(S)上的∪,∩,⊕都是可交换的,但相对补(差)不是可交换的. Mn(R)上加法是可交换的;乘法和减法是不可交换的.
结合律: ∀x,y,z∈S, 有(x·y)·z=x·(y·z)