5.群中元素的幂运算
设G是群，a ∈G，则
e, n 0 an an1a, n 1
(a1)n , n 1
18
群的性质
例4 在群<Z,+>与群<Z3， >中，分别计算3-5与2-3.
解：在群<Z,+>中， 3-5=(3-1)5=(-3)5= -15 在群<Z3， >中， 2-3=(2-1)3=13=0
0
Φ
x1

0, n
x,
x0 x0
x
群
例1 几个典型的群（续）： Klein 四元群：
◦ eabc
e eabc a aecb b bcea c cbae
特征：
1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结
果都等于剩下的第三个元素
群
例2 设S=R-{-1}，S上定义运算*： a*b=a+b+ab，试证明<S，*>是群。
代 数
系
商代数
等价关系
统
群
群的基本概念及性质
子群 特殊群
群
定义 群:
设<G, ◦ >是个代数系统，如果◦满足
(1)可结合 (2)有幺元 (3)每个元素可逆且逆元仍在G中 则称<G,◦>是一个群，简称G为群。
群
例1 几个典型的群：
<Z,+>
幺元e
0
x-1
-x
<Zn, n> <P(S), >
群的性质
6.群中元素的阶 定义 元素的阶：
设<G,◦>是群，a∈G， 使ak=e的最小正整数k称为a的阶，记作|a| 。 如果这样的k不存在，则称a的阶是无限的。 注: (1) |a| = |a-1|
(2) |e| = 1
20
群的性质
例6 设群〈Z6，6〉,其中Z6={0,1,2,3,4,5}, 6是模6 加法,试求出群〈Z6，6〉中每一元素的阶。
<e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.
典型子群
例9 群的中心 设G为群,令C={a| a∈G∧x∈G(ax=xa)}，则C是G的子
群，称为G的中心.
证明 e∈C. C是G的非空子集. 任取a,b∈C，只需证明ab1 与G中所有的元素都可交换. x∈G，有
1 2 3 1 1 2 3
1 2 3
2


2
3
1

3


1 3
2 1
3 2

4

1 1
2 3
3 2
5


1 3
2 2
3 1

6


1 2
2 1
3 3
43
置换群
例14设σ＝
12
2 1
3 3
4 4
，
40
置换群
几个概念： n元对称群<Sn, ◦>的子群称为n元置换群。 n元对称群<Sn, ◦ >, 其中Sn为n元置换的集合， “◦”为n元置换的复合运算。 n元置换——集合S上的双射函数，S={1,2,...,n}。 n元置换的复合运算——函数的复合运算。
41
置换群
定义 n元置换：有限集合S上的双射函数:SS称为S上的n 元置换，其中S={1, 2, 3, ... , n}。
(ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax1)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理二可知C≤G.
28
群
群的基本概念及性质 子群
特殊群——循环群 置换群
29
循环群
定义 循环群： 如果群G可以由一个元素a生成，即 G=<a>={ak|kZ}, 则称G为由a生成的一个循环群，并称a为G的一个生成 元，记为G=<a>。
例7 生成子群 设G为群，a∈G，令H={ak| k∈Z}，则H是G的子群
，称为由 a 生成的子群，记作<a>. 证明 (1)由a∈H知H≠. (2)任取am,al∈H，则
am(al)1 = amal = aml∈H 根据判定定理可知H≤G.
26
典型子群
例8 生成子群举例：
<Z,+>：<2>={2k | k∈Z}=2Z <Z6, >：<2>={0,2,4} Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有生成子群是：
记法：




1 (1)
2 ...
(2) ...
n

(n)

记Sn：S上所有n元置换的集合。且在Sn上可以定义置换的 复合运算“◦ ”，称作置换的“乘法”。
Байду номын сангаас
42
置换群
例13 集合S={1,2,3}上共有6个不同的置换， 它们的集合记 为S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}。
可以证明，若G=<a>，则G=<a-1>，即a与a-1 都是G的生 成元。
30
循环群
例10 循环群举例: （1）无限阶循环群：<Z，+> , Z=<1>=<-1> （2）n阶循环群：<Zn, n >, Zn=<1>=<n-1>
31
循环群
定理 设循环群G=<a>，则 |a| = |G|，即循环群的阶与生 成元的阶是相同的。 当|G|=∞时，G=<a>={…, a-2,a-1,e, a1,a2,…} 当|G|=n时， G=<a>={a0,a1,a2,…,an-1}
a1 a2

b1
b2
an -1 =
bn

b1 b2

a1
a2
45
bn 。
an

置换群
定义 n元置换的全体构成的集合Sn对置换的乘法构成一 个群，称为n 元对称群。 定义 n元对称群的任何子群都称为S上的n元置换群。
37
循环群
例11 求<Z，+>与<Z8 , 8>的生成元与循环子群(续)。 (2)<Z8 , 8> 循环子群：8的所有正因子有1，2，4，8，故Z8的所有 循环子群为 <18/1>=<0>={0}
<18/2>=<14>=<4>={0,4} <18/4>=<12>=<2>={0,2,4,6} <18/8>=<1>=Z8
a
1
*a

0
即
a a 1 aa 1 0
a
1

a

a 1a

0
得a-1 =(-a)/(1+a) ∈S。 综上知<S，*>是群。
群的性质
群的性质包括： 1)消去律 2)群方程的可解性（重点） 3)群中无零元 4)有限群运算表的特性 5) 群中元素的幂运算（重点） 6) 元素的阶
32
循环群
关于循环群的两个问题： (1)如何求取循环群的所有生成元？ (2)如何求取循环群的所有(循环)子群？
33
循环群
定理 设G=<a>， (1)若|G|= ∞，则G的生成元只有a与a-1。 (2)若|G|=n，则G的生成元是ak，其中k是与n互素的正整 数。
34
循环群
定理 设G=<a>, (1)若|G|= ∞ ，则G的循环子群有无限个，即为
16
群的性质
练习 设群<Z8， 8 >， 8是模8加法，在群中解下列方 程： (1)x 8 6 =5; (2)2 8 y = 3.
解：(1)x=5 8 6-1=5 8 2=7 (2)y=2-1 8 3=6 8 3=1
17
群的性质
3. 群中无零元。
4. 有限群的运算表的特征。
<G,◦>是个有限群，则G中每个元素在◦运算表中的每一 行(列)必出现且仅出现一次。
离散数学
Discrete Mathematics
主讲：陈哲云 青岛理工大学计算机工程学院
2013.09
1
第6章 几个典型的代数系统
代数系统
半群与群 环与域 格与布尔代数
分类
代数系统 成分：集合+运算 的构成 公理：运算性质
代数系统 间的关系
映射 代数系统的 同构与同态
子集 子代数 新
生成
的
笛卡儿积 积代数
τ＝
13
2 4
3 1
4 2

，
则σ◦τ=
13？24
3 2
4 1

,
τ◦σ=
1？2

4
3
3 1
4 2

44
置换群
置换的乘法有下述一些性质： (1)满足结合律 (στ)ρ=σ(τρ), σ,τ,ρSn。 （2）n元恒等置换Is是Sn中的单位元
即： Is τ=τ Is ，τSn。 （3）每个n元置换在Sn 中都有逆元
解： 在群〈Zn，n〉中，x Zn,
1, x 0
|
x
|
[n, x] x
,
x

0