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例2
ɺ 已知：IS = 4∠90o A , Z1 = Z2 = −j30 , ɺ Z3 = 30 , Z = 45 , 求电流 I.
ɺ IS
Z1
Z2 Z3
ɺ I
Z
Z1//Z3 + ɺ (Z1 // Z3 )IS -
Z2
ɺ I
Z
30(−j30) 方法1： 解 方法 ：电源变换 Z1 // Z3 = =15 − j15Ω 30 − j30 ɺ IS(Z1 // Z3) j4(15−j ) 15 ɺ= I Z // Z +Z +Z = 15−j −j30+45 15 1 3 2
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结论
引入相量法 相量法， 1. 引入 相量法 ， 电阻电路和正弦电流电路依据 的电路定律是相似的。 的电路定律是相似的。 引入电路的相量模型 电路的相量模型， 2. 引入 电路的相量模型 ， 把列写时域微分方 程转为直接列写相量形式的代数方程。 程转为直接列写相量形式的代数方程。 引入阻抗以后， 阻抗以后 3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有 网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态 的相量分析中。直流（f =0)是一个特例。 的相量分析中。直流 是一个特例。 是一个特例
正弦稳态电路的 电路的分析 第9章 正弦稳态电路的分析
重点： 重点： 阻抗和导纳； 1. 阻抗和导纳； 2. 正弦稳态电路的分析； 正弦稳态电路的分析； 正弦稳态电路的功率分析； 3. 正弦稳态电路的功率分析；
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9.1 阻抗和导纳
正弦稳态情况下
+
ɺ I
+
ɺ U
-
ɺ I
N0
ɺ U
-
Z
图中所示为不含独立源的一端口N 图中所示为不含独立源的一端口 N0， 当它在角频 率为ω的正弦电源激励下处于稳定状态时， 率为 ω 的正弦电源激励下处于稳定状态时 ， 端口的电 流和电压都是同频率的正弦量。 流和电压都是同频率的正弦量。 相量法中 可以通过一端口的电压相量、 在相量法中，可以通过一端口的电压相量、电流 相量， 用两种不同类型的等效参数来描述一端口N 相量 ， 用两种不同类型的等效参数来描述一端口 NO 的 对外特性。 对外特性。
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（1）当一端口 0内仅含有单个元件： ）当一端口N 内仅含有单个元件： a.含有单个电阻元件 含有单个电阻元件R 含有单个电阻元件 + ɺ U -
ɺ I
R
ɺ U ZR = = R ɺ I
电阻的阻抗虚部为零，实部即为 。 电阻的阻抗虚部为零，实部即为R。
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b.含有单个电容元件 含有单个电容元件C 含有单个电容元件
k =1 k =1 n n
分流公式
ɺi = Yi I ɺ I Y
各个导纳的电流分配
等效导纳等于所有导纳之和
Z1Z2 两个阻抗Z 的并联等效阻抗为： 两个阻抗 1、Z2的并联等效阻抗为： Z = Z1 + Z2
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9.3 正弦稳态电路的分析
由前面已指出：在用相量法分析计算时， 由前面已指出：在用相量法分析计算时，引入正弦量 的相量、 阻抗、 导纳和KVL、 KCL的相量形式 ， 它们在 的相量形式， 的相量 、 阻抗 、 导纳和 、 的相量形式 形式上与线性电阻电路相似。 形式上与线性电阻电路相似。电阻电路与正弦电流电路的 分析比较： 分析比较： 正弦电路相量分析: 电阻电路: ɺ KCL: ∑I = 0 KCL: ∑i = 0 ɺ KVL : ∑U = 0 KVL : ∑u = 0 元件约束关系: 元件约束关系: ɺ ɺ ɺ U = Z I 或 I = YU ɺ u = Ri 或 i = Gu
为复数， （1）Z=R+j(ωL-1/ωC)=|Z|∠ϕz 为复数，称复阻抗 ）
> 1/ωC ，X>0， ϕ z>0，电路为感性， 电路为感性， 电路为感性
电压超前电流。 电压超前电流。 相量图：选取公共相量电流I为参考向量 为参考向量， 相量图：选取公共相量电流 为参考向量， ψ i = 0 电压 三角 ɺ 形 U
有功，无功，视在功率的关系： 有功，无功，视在功率的关系： 有功功率: 有功功率:
P=UIcosϕ
单位： 单位：W 单位： 单位：var 单位：VA 单位
2
无功功率: 无功功率: Q=UIsinϕ 视在功率: S=UI
S = P +Q
2
u(t) = 2U cosωt i(t) = 2I cos( t − φ) ω φ为u和i的相位差φ =Ψu −Ψi
n
n
分压公式
等效阻抗等于所有阻抗之和
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各个阻抗的 电压分配
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ɺi = Zi U ɺ U Z
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②导纳的并联
ɺ I
ɺ I
Y2 Yn
+
+
ɺ U
－
Y1
ɺ U -
Y
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ 1 ɺ I = I1 + I2 +⋯+ In =U(Y + Y2 +⋯+ Yn ) =UY
Y = ∑Yk = ∑(Gk + jBk )
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1. 阻抗
+
正弦稳态情况下
ɺ I
+
ɺ U
-
ɺ I
N0
ɺ U
-
Z
一端口阻抗定义为
ɺ U Z = =| Z | ∠φzΩ ɺ I . . U = U∠φu I = I∠φi
def
欧姆定律的相 量形式
U Z= Ω I ϕz = φu −φi
阻抗模 ，单位为 阻抗角 Z又称为复阻抗 又称为复阻抗
0
j300Ω ɺ + U0 60∠00 ɺ _ I1 _
ɺ U0 ɺ ɺ ɺ ɺ Uo = −200I1 −100I1 + 60 = −300I1 + 60 = −300 + 60 j300 ɺo = 60 = 30 2∠450 V U 1− j
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ɺ 200I1 _ +
100Ω
5.657∠45o o = 5∠- 36.9o =1.13∠81.9 A
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方法2：戴维宁等效变换 方法 ：
ɺ IS
Z1
Z2 Z3
+ ɺ U0
Zeq +
ɺ I
Z
-
ɺ U0
-
ɺ 求开路电压：U0 = IS (Z1 // Z3 ) = 84.86∠45o V 求开路电压： ɺ
求等效电阻： 求等效电阻： Zeq = Z1 // Z3 + Z2 =15 − j45
ϕz
ɺ UL
ɺ UC UX
U = U + U = U + (UL −UC ) ɺ + UR 2 R 2 X 2 R
2
等效电路 +
R
ɺ UR
电压U 组成的直角三角形， 电压 R、UX、U组成的直角三角形，称为电压三角形， 组成的直角三角形 称为电压三角形， 它和阻抗三角形相似。 它和阻抗三角形相似。沿着闭合回路走一圈电压相量代 数和为0，符合KVL。 数和为 ，符合 。
S
ϕ
P
Q
功率三角形
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任意阻抗的功率计算 i + u Z
PZ =UIcosϕ =I2|Z|cosϕ =I2=UIsinϕ =I2|Z|sinϕ =I2X QZ R ＝I2(XL＋XC)=QL＋QC
吸收无功为正
2
QL = I 2 XL > 0 QC = I XC < 0
发出无功) 吸收无功为负 (发出无功)
ɺ I
-
+ ɺ UX jω Leq 上 页 下 页
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（3）ωL<1/ωC，
X<0， ϕz <0，电路为容性， 电路为容性，
电压落后电流。 电压落后电流。 U = U 2 + U 2 = U 2 + (U −U )2 R X R C L ɺ I ϕz ɺ ɺ ɺ UR U I + UR X ɺ U + ɺ L 等效电路 R + U . ɺ 1 UX U ɺ UC jωCeq 电路为电阻性， （4）ωL=1/ωC ，X=0， ϕ z=0，电路为电阻性， ɺ 电压与电流同相。 电压与电流同相。 I + ɺ UL ɺ ɺ R UR 等效电路 +U ɺ I ɺR U ɺ UC
S = P2 + Q2 = I 2 R2 + X 2 = I 2 Z
S
ϕ
Q
相似三角形
Z
ϕ
X
R P 组成直角三角形， P、Q和S组成直角三角形，称为功率三角形
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9.5 复功率
ɺ ɺ来计算功率，引入“ 功率” 为了用相量U和I来计算功率，引入“复功率”
+
ɺ I
负 载
定义： 定义：
ɺI * 单位 VA S = Uɺ
ɺ I
+ ɺ U ɺ U 1 C ZC = ɺ = −j = jXC I ωC
1 电容C的阻抗实部为零 的阻抗实部为零， 电容 的阻抗实部为零，虚部为 − ω C
c.含有单个电感元件 含有单个电感元件L 含有单个电感元件
ɺ I
+
ɺ U
-
L
ɺ U ZL = = jω L = jXL ɺ I
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