上述两集合的性质定义了一个群，这两个集合就是群的例子。 群是一些不同元素的集合，G{E，A，B，C，D， }，这些 元素被赋予以合成法则(加法、乘法、矩阵乘法等)，满足性质： (a)封闭性 (b)存在恒等元 A BG， A，BG.
E G E A A E AA G.
1.1.1 变换群
人们对平面的认识
欧几里德, 笛卡儿, 费马, … y
O
——欧氏空间
距离
x
——内积空间
内积
R ?2 {(x, y) | x, y R} =
=
——线性空间
线性运算
——集合
一个系统的所有对称变换的集合是一个群。
•定义：设由点变换构成的集合G，满足下列两个条件， 称G为变换群：
上式就是Hi和Hj只见的共轭关系，表明如果Hi属于G中的正规子 群H，则与Hi共轭的所有元素也属于H. 这个结论常被说成： 正规子群由较大群的完全类组成。其逆也成立。 定理：若H是群G的正规子群，则在G/H中定义运算为： XHYH＝(X*Y)H，则G/H在运算下为群，称<G/H，>为G对H 的商群。记为K=GH 证明 (1)对任意的aH、bH、cH∈G/H，有 (aHbH)cH＝(a*b)HcH＝((a*b)*c)H ＝(a*(b*c))H＝aH(b*c)H＝aH(bHcH) aHeH＝(a*e)H＝aH＝(e*a)H＝eHaH aHa－1H＝(a*a－1)H＝eH＝(a－1*a)H＝a－1HaH 所以满足结合律，且eH为关于运算的幺元，每个元素aH都有 逆元a－1H。故<G/H，>为群。 若g和h分别为G和H的阶，K的阶等于G中H的指数g/h.
2
C D
2
B
——
2
4
C C
2
D
51 5
B A C D B A
5
C D B A
5
y
O x
C D
fi() = Qi
恒等 f1
1 0 0 1
f2
0 1 1 0
f3
1 0 0 1
f4
0 1 1 0
f5
0 1 1 0
f6
0 1 1 0
f7
1 0 0 1
f8
1 0 0 1
1.4子群 集合H的所有元素都在群G中，且H本身也是在同样合成法 则下的一个群，则H叫做群G的一个子群。 每个群G都有两个平凡子群——单位元和G自身。若H≠G， 即G比H有更多的元素，则子群H叫做G的真子群。 1.4.1循环群 若G是有限群，则必然存在一个有限正整数n使得An=E. 满足上式的最小非零正整数叫做元素A的阶。 前面讨论过的群(A, A2, A3, …, An=E)有这样的性质，其中每 一元素都是某一特定元素的乘幂。这样的群叫做循环群。由单一 元素生成的群就是一个循环群。循环群是Abel群，但其逆未必。 1.4.2陪集(coset) 考察g阶群G的一个h阶子群H=(H1=E, H2,…, Hh)。设X为G中 任意元素，构造所有像XE, XH2等等的乘积并组成集合
–G中任意两个变换的乘积仍是G中的变换，即具有封闭性 –G中的每个变换都有逆变换，而且是G中的一个变换。
•平面上所有平移的集合 √ •平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 •平面上所有轴反射的集合
√
a1 a2
×
1.1.2正方形的对称性群
（1）平面上正方形ABCD的对称变换群
6 ， 4 ， 7 } 8 5 ， S(K) = { ， ， ， 1 2 3 ，
AG
f ( A) f ( AB).
AG
这里B是有限群G的一个元素，求和遍及所有群元素。 1.2.2有限群的生成元 考虑一些元素的最小集合，这些元素的幂和乘积可以生成群的 所有元素，此集合的元素成为群的生成元。
例：由元素A生成一个群，只要求An=E，n是满足此关系式的最 小正整数。
由于A是群中的一个元素，所有它的整数幂必定也在这个群中。 故可以生成群的新元素，A2，A3，…，直到An=E，更高次幂不能 给出新元素，因为An+k= Ak.所求得群，故所求得群阶为n. 例：由两元素A和B生成一个群，只要求A2=B3=(AB)2=E. 由于A2=E和B3=E，此群必包含元素E，A，B，B2. 它一定也包 含所有A，B和B2的乘积. 因此得到两个新元素AB和BA. A和B不 对易，否则由(AB)2=E将得到 E=ABAB=A2B2=B2. AB 和BA是不同的元素. 由此生成6个元素E, A, B, B2, AB, BA. 可以证明，这个集合是一个群，即它对乘法是封闭的。
（2）S(K)中的运算举例
2 1 2
B A B A A D
2
C D
1
C
2
D
2
B
——
2
C
2 5 7
B A C D D A
5
C D B A
2
C B
（3）S(K)中的幺元
B
1
A B A
1 ：
C
2
D C
2
D
（4）S(K)中的逆元
2
B A A
1
4
D B A
物理学中的群论及其应用
§1.1什么是群？
考察所有整数集合I={,-3,-2,-1,0,1,2,3 }，考察下列四个性质： (a)集合I的任意两个元素之和仍是一整数，从而属于此集合I. (b)此集合包含一个零元素0，具有这样的性质，对任意元素mI， m+0=0+m=m. (c)对于I的任意元素m，存在一个也属于I的唯一n，使得m+n=
H∪XH∪YH=(E, H2,…, Hh, X, XH2,…, XHh, Y, YH2,…, YHh). 如果这些还不是全部G，我们又可以从G的剩余部分再取一 个元素继续上面的步骤。每次都生成h个属于G的新元素。因此G 的阶必定是h的整数倍。整数gh叫做G中子群H的指数。 如果有限群G的一个元素A的阶为n，已知集合(A, A2,…, An=E) 是G的一个子群，故有限群的任意元素的阶必定是此群之积的整 数因子。 1.4.4正规子群和商群(quotient group) 若相对于G中所有元素X，子群H的左陪集和右陪集相同，则H叫 做G的正规子群或不变子群. H是正规子群的条件可写成：XG, XH=HX, 或 X-1HX=H. 这个条件也可改述为要求XH中的每一元素等于HX的某一元素， XHi=HjX. 从而 X-1HjX=Hj.
1.2 乘法表(Cayley表)
f1 f1 f2
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f1
f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8
f2
f3 f4 f1
f3
f4 f1 f2
f4
f1 f2 f3
f5
f8
f6
f7
f7
f5
f8
f6
f3
f4
f5
f6 f7 f8
f1 f1 f1 f1
1.2.1重排定理 从乘法表看出，群的每一个元素在每一列中出现一次，且只 出现一次。这就是所谓重排定理。 这个定理的一个重要推论：若f是群元素的任意函数，则
多对一的映射更常遇到。如果群G1的每一元素A对应于另一群G2 的唯一元素(A)使得(AB)=(A)(B) ，就说存在从G1到G2的同态.
定义: 同态映射 : G H
(AB) = (A)(B), A, BG
为满(单)射—— 满(单)同态
G
Ker e

H Im

1.7置换群 定义 设S＝{1，2，…，n}，从集合S到S的一个双射称为S的一个 n阶置换。一般将n阶置换记为
(c)存在逆元
(d)结合律
A G B G A B B A E.
A ( B C ) ( A B) C A，B，C G
群中元素的个数叫做群的阶。有限群包含有限个元素；包含无限多 元素的叫做无限群。
以后，符号“ ”将省去。A B将写作AB。用“合成”替代“乘法” 一般来说，ABBA，若群的所有元素都相互对易，则称此群为 Abel群(交换群)
(1) (2) (n) -1. 为 的反置换 , 记为 1 2 n (1) (2) ，并称 ( n ) 1 2 n 1 2 n 1 2 n
n+m=0；显然n=-m.
(d)若m，n和p是I的任意三个元素，m+(n+p)=(m+n)+p； 这表示加法满足结合律。
考察另一集合：所有n阶幺正矩阵的集合U(n)， n是一个稳定的有限 正整数。此集合有四个性质： (a)若U和V时任意两个n阶幺正矩阵，乘积UV仍是一个n阶幺正 矩阵，从而也属于集合U(n). (b)包含单位矩阵I，具有性质：UU(n)，UI=IU=U. (c)若U是U(n)的一元素，则存在唯一的V，它也在U(n)中， UV=VU=I. (d)若U，V和W是此集合的三个元素，U(VW)=(UV)W.
1.5群的直积 令H=(H1E, H2, H3,…, Hh)是h阶群， K=(K1E, K2, K3,…, Kk) 是k阶群，设(i)H和K除E外无其他公共元素，(ii)H中的每一元素 都与K中每一元素对易. 定义H和K两群之积为阶等于g=hk的群G， 其元素是H的每一元素和K的每一元素的积. 群的直积为 G=HK=(E, EK2, EK3, …, EKk, H2E, H2K2, …, H2Kk, …, HhKk). 显然，H和K都是G的正规子群. 1.6同构和同态 乘法表刻画了群的全部特征，也包含了关于群的解析结构的 全部知识。具有相似乘法表的所有群都有相同的结构—相互同构. 一一对应 定义 同构对应 保持运算
1.4.3 Lagrange定理 若h阶群H为g阶群G的一个子群，则|G|＝|H|· [G:H]。 证明 令H=(E, H2, H3,…, Hh, X, XH2,…, XHh)是G的一个子群. 相 对于一个属于G而不属于H的元素X组成的作陪集XH. 前面已证明， 所有的元素XHi(1≤i≤h)都属于G而不属于H，于是得到G的h个新 元素. 这样就生成G的下列2h个元素: H∪XH=(E, H2, H3,…, Hh, X, XH2,…, XHh). 如果这不是全部G，就在G的剩余部分中取一元素Y(Y属于G但不 属于H和XH)，同样组成左陪集YH. 同理，YH的所有元素必属于 G而不属于H，YH和H不相交. 如果YH中的某元素YHi与XH中的某元素XHi(1≤i, j≤h)相同，则 YHi=XHj, 或 Y=XHjHi-1XHk . 其中1≤k≤h, 这表明Y属于XH，但与假设矛盾。于是又得到G的 h个新元素，总计得到G的3h个元素: