三、变速圆周运动和一般曲线运动
阅读课本P21思考回答以下问题： ⑴ 变速圆周运动的合外力也指向圆心吗？ 变速圆周运动的速度大小是怎么改变的？ ⑵ 怎么分析研究一般的曲线运动？
1、做变速圆周运动的物体所受的合力特点：
Ft
v
F
Fn
Ft 切向分力，它产生切向加速度，改变速度的大小. Fn 向心分力，它产生向心加速度，改变速度的方向.
水流星模型 杂技演员表演“水流星”节目，我们发现 不管演员怎样抡，水都不会从杯里洒出， 甚至杯子在竖直面内运动到最高点时，已 经杯口朝下，水也不会从杯子里洒出。这 是为什么？
4.竖直平面内的圆周运动 ①外轨型（最高点和最低点）
2 vA 在A点 : m g N m R
（1）当 N 0, v Rg (临界速度 )
（3）当
2.汽车过凹形路段 超重，v越大，N越大
3.火车过弯道
说法：火车转弯时所需的向心力是由重力 G 和支 持力FN的合力F来提供．
mv F向 mgtan R
2
v临 Rg tan
火车转弯规定临界速度
1.v=V临时,车轮对内、外都无侧压力。 2.V>V临时,车轮对外轨有侧压力。 3.V<V临时,车轮对内轨有侧压力。
F合＝mg tanθ
1. 小球做圆锥摆时细绳长L，与竖直方向成θ角，求小 O’ 球做匀速圆周运动的角速度ω。
解析：小球的向心力由T和G的合力提供
θ
F向心 F mgtg
小球做圆周运动的半径
L T O RF mg
R L sin
2
由牛顿第二定律： F m a m 2 R 即：
v v临 gr 时,N=0.临界速度
v v临 时，物体做________ 平抛 运动.
（3）当
2.求汽车过凹形路段最低点时对路面的压力？ 【解】G和N的合力提供汽车做圆周
运动的向心力，由牛顿第二定 律得：
v2 N G m r
N
v
G
解得：
属超重现象
可见汽车的速度越大对桥的压力越大。
C、做匀速圆周运动的的物体所受向心力是不变的；
D、向心力是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的 一种新的力
例2、甲乙两物体都做匀速圆周运动,其质量之比为 1∶2,转动半径之比为1∶2,在相同时间内甲转过4 周，乙转过3周.则它们的向心力之比为（ C ） A.1∶4 C.4∶9 B.2∶3 D.9∶16
例一、质量为1Kg的小球经过圆底部的速度是 5m/s，圆的半径是5m，如图所示，求小球受到的合力 和支持力。
v
一、汽车过桥问题 1. 汽车过拱桥 （1）当 0 v gr 时，N<G，失重，v越大，N越小 （2）当
v v临 gr 时,N=0.临界速度
v v临 时，物体做________ 平抛 运动.
m g tan
由于轨道平面和水平面间的夹角一般较小,可以近似地认为 h tan sin d
v 2 d 202 1.435 0.195m 所以内外轨的高度差 h rg 300 9 Nhomakorabea8r
tan
gr
如果高速公路转弯处弯道半径R=100m,汽车轮胎与路面间 动摩檫因数μ=0.23,若路面是水平的,问汽车转弯时不发生 径向滑动(离心现象),所许可的最大速度是多大? 解析:在水平路面上转弯,向心力只能由静 摩檫力提供,设汽车质量为m,则最大静摩 檫力 m
Fn ＝kmω2r
匀速圆周运动实例分析——向心力的来源
轻绳栓一小球，在光滑水平面做匀速圆周运动。小球向心力的 来源？ 小球受力分析：
FN
O
O
F
G
向心力由小球受到的桌面支持力FN、小球的重力G、绳子 的拉力的合力提供。
F 向= F 合= F
匀速圆周运动实例分析——向心力的来源
物体相对转盘静止，随盘做匀速圆周运动
4.A、B两个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A 的质量为m，B的质量为2m，A离轴为R/2，B离轴为R，则 当圆台旋转时：(设A、B都没有滑动，如下图所示) ( AD ) A.B的向心加速度是A的向心加速度的两倍 B.B的静摩擦力是A的静摩擦力的两倍 C.当圆台转速增加时，A比B先滑动 D.当圆台转速增加时，B比A先滑动
ω
FN
小球向心力的来源? 由小球受到的重力、支持力、 静摩擦力三个力的合力提供。 即圆盘对木块的静摩擦力Ff
O
Ff
G
F 向= F 合= Ff
匀速圆周运动实例分析——向心力的来源
圆锥摆
θ
F
r O F合 G
小球向心力的来源? 由小球受到的绳子拉力F和 重力G的合力提供，方向指 向圆心
F向 F合 mg tanθ
②杆型，圆管型 在 A点 (1) 当 v A v临
2 临
A
gL
向心力由重力提供，T=0，
v2 当 v v临时, 有支持力, T mg m L
B
v T m mg L
Ｌ
v2 当 v v临时, 有拉力, T m mg L
mA
( 2 )当 v A 0, N mg
例3、如图，半径为r的圆筒绕竖直中心轴转动，小橡 皮块紧帖在圆筒内壁上，它与圆筒的摩擦因数为μ， 现要使小橡皮不落下，则圆筒的角速度至少多大？
解析：小橡皮受力分析如图。 小橡皮恰不下落时，有： Ff=mg 其中：Ff=μFN 而由向心力公式： FN=mω2r g 解以上各式得： ＝ Ff FN
G
ω
mg
竖直方向:F升 cosθ＝mg 水平方向:F合=mω2r
mg
竖直方向:Tcosθ＝mg 水平方向:F合=mω2l sinθ
F合＝mg tanθ
N r m F合O θ ω mg
竖直方向:N cosθ＝mg 水平方向:F合=mω2r
θ
N O θ R
m mg F合 O' ω
竖直方向：N cosθ＝mg 水平方向：F合=mω2 R sinθ
(3)当 v gR时, 物体做平抛运动
2 vC 在B点：N m g m R
v2 ( 2)当 N 0, v Rg , N m mg R
2 vC N m mg mg R
②绳型（最高点和最低点）
(1)当 v gr时，Ｎ＝０，水在杯中刚好不流出，此 时水作圆周运动所需向心力刚好完全由重力提供，此 为临界条件。 (2)当 v gr 时，Ｎ>０，杯底对水有一向下的力的 作用，此时水作圆周运动所需向心力由Ｎ和重力Ｇ的 合力提供。 (3)当 v gr 时，Ｎ<０，实际情况杯底不可能给水向 上的力，所以，此时水将会流出杯子。
总结：
⑴向心力是根据效果命名的力，并不是一种新的性质的力。 ⑵向心力的来源：可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的 力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。 物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。 向心力不是物体真实受到的一个力，不能说物体 受到向心力的作用 ，只能说某个力或某几个力提 供了向心力。
解： 小球受力： 竖直向下的重力G 沿绳方向的拉力T O‘
θ
小球的向心力：
由T和G的合力提供
L FT O F mg
2
F向心 F mgtg
小球做圆周运动的半径 由牛顿第二定律：
R L sin
F m a m R 2 即： mgtg m L sin
g L cos
2 2 mv / r m r F m g / tan
N

v gr / tan
N m g / sin
g / r tan
F
mg
3.质量为 m 的小球，用长为 l 的线悬挂在 O 点，在 O 点正下方 处有一光滑的钉子O′，把小球拉到右侧某一位置释放，当小 球第一次通过最低点P时( BCD ) A、小球速率突然减小 B、小球角速度突然增大 C、小球向心加速度突然增大 D、摆线上的张力突然增大
一、汽车过桥问题 1.求汽车以速度v 过半径为r 的拱桥时对拱桥的压力？
v GN m r
2
N
G
例一、质量为1000Kg的汽车以恒定的速率 20m/s通过半径为100m的拱桥，如图所示，求汽车在 桥顶时对路面的压力是多少？如果要使汽车对桥面的 压力为0，速度至少是多少？
长江大桥
一、汽车过桥问题 1. 汽车过拱桥 （1）当 0 v gr 时，N<G，失重，v越大，N越小 （2）当
mgtg m L sin
g L cos

2.如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水 平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴 着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则 ( AB ) A.球A的线速度一定大于球B的线速度 B.球A的角速度一定小于球B的角速度 C.球A的运动周期一定小于球B的运动周期 D.球A对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力
2
向心力的来源：可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质 的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。 物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。
非匀速圆周运动：
F向 F合
F 是F
向
合的指向圆心方向的分力
Fn
练习
例1：关于向心力说法中正确的是（B B、向心力不改变速度的大小； ）
A、物体由于做圆周运动而产生的力叫向心力；
R O B
总结：竖直平面内的变速圆周运动
绳，外轨 m A L O 杆 m A L O 圆管
mA
R O B
m的受力 情况 最高点A的 速度
f mg,
2 m
v m m g, 得vm gR R
取g=9.8m/s2,得最大速度vm=1.5m/s