选址问题数学模型摘要：本题是用算法和代数相结合来进行数学模型，来解决1.高中应该建立在哪个乡镇上，才能够使得最远的乡镇的学生上学最近；2.应该建立在哪个乡镇上，使学生往返学校的平均距离最短。

通过对原型进行初步分析，分清各个要素及求解目标，理出它们之间的联系.在用算法模型描述研究对象时，为了突出与求解目标息息相关的要素，降低思考的复杂度。

对客观事物进行抽象、化简，并用矩阵描述事物特征及内在联系的过程.建立代数模型是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题。

针对问题1：我们要通过建立矩阵模型，分别求出高中建立在每一个乡镇，此时到该高中的最远乡镇，然后将这些最远的乡镇相互比较，得出就近的。

这个问题也就解决了。

针对问题2：这个问题和第一个问题类似的处理手法，都是分别将数据列出来，然后进行比较。

也是要先分别求出高中建立在每一个乡镇上，此时学生往返学校的平均值，然后再将这25组数据进行比较，得出其中平均距离最短的一组。

确定高中应该建立在哪个乡镇上。

关键词：最远最近平均距离最短矩阵 max min1.问题的重述1.1问题的背景某行政区有25个乡镇，每个乡镇的具体位置（用平面坐标系x，y表示）及高中生人数t，如表1，假设乡镇之间均有直线道路相连，现在一个乡镇上建立一所高中，然后我要要开始选址了。

1.2问题的提出1.高中应该建立在哪个乡镇上，才能够使得最远的乡镇的学生上学最近；2.高中应该建立在哪个乡镇上，使学生往返学校的平均距离最短。

附有表格（便于表格的完整性，放到了下一页）表1：各乡镇的位置及高中生人数2.模型假设（1）各个乡镇之间的路都是一样的，没有难行和不好行的区别（2）各个乡镇之间的交通设置都是一样的（3）各个乡镇之间不受地形等天然因素的影响3.符号说明X：乡镇距离x轴的距离；y：乡镇距离y轴的距离；t：每个乡高中生的人数；max(d)：距离高中最远乡镇的数据；min(max(d))：最远数据中的最近乡镇；sum(t)：平均到高中的距离；min(a)：平均距离当中的最小值。

4.问题的分析问题1的分析：建立在哪一个乡镇上，才能够使得最远的乡镇的学生上学最近。

也就是说，首先要求出最远的乡镇这一组数据，然后我们在这最远的乡镇中做比较，得出最近的，确定此时的高中建立在哪一所乡镇上面。

问题2的分析：建立在哪一所乡镇上，使学生往返学校的平均距离最短。

同样的，也是需要考察我们对大量数据的处理能力。

要分别设高中建立在第一所乡镇上面，其他24所乡镇学生到高中的往返平均距离；然后在求建立在第二所乡镇上面，其他24所乡镇学生到高中的往返平均距离；然后在求建立在第三所乡镇上面……依次得到25组平均距离的数据。

然后我们将这25数据进行比较，得出学生往返学校的平均距离最短的。

从而知道此时的高中建立在哪一个乡镇上，解决这个问题。

5.问题的解答：问题1的解答：我们可以运用MATLAB软件，对数据进行分析，然后得出如下数据：>> x=[385.4 83.6 64.7 255.8 0.0 134.2 110.3 17.0 37.5 163.0 326.7 248.8 209.2 290.7 339.8 291.1 222.5 262.4 296.9 137.4 353.8 138.6 23.7287.5 401.2];>>y=[156.6 101.5 141.8 297.2 260.3 375.9 333.1 187.1 251.2 23.2 216.0 182.9 45.4 342.7 188.9 394.9 262.9 0.0 52.4 197.9 15.3 90.3 131.2 359.5250];>>for i=1:1:25>>for j=1:1:25>>d(i,j)=((x(i)-x(j))^2+(y(i)-y(j))^2)^(0.5);>>end>>end>>dd =Columns 1 through 130 306.7886 321.0413 191.2185 399.1076 333.4575326.8520 369.6604 360.5323 259.3402 83.5108 139.1088 208.3552306.7886 0 44.5118 260.6748 179.4614 279.0264233.1340 108.4570 156.6375 111.5135 268.7152 184.1657 137.5593321.0413 44.5118 0 246.3095 135.0124 244.1988196.6597 65.7828 112.7307 154.0417 272.3043 188.6320 173.7044191.2185 260.6748 246.3095 0 258.4478 144.8456149.8635 262.9590 223.0939 289.2885 107.7973 114.5141 256.0758399.1076 179.4614 135.0124 258.4478 0 177.1243132.1587 75.1481 38.5883 287.7245 329.6898 260.5613 299.9111333.4575 279.0264 244.1988 144.8456 177.1243 049.0209 222.2190 157.8004 353.8739 250.2484 224.4597 338.9030326.8520 233.1340 196.6597 149.8635 132.1587 49.0209 0 173.2654 109.5785 314.3490 246.0516 204.3093 304.2244369.6604 108.4570 65.7828 262.9590 75.1481 222.2190173.2654 0 67.2983 219.4976 311.0455 231.8380 238.7880360.5323 156.6375 112.7307 223.0939 38.5883 157.8004109.5785 67.2983 0 260.2580 291.3343 222.0644 268.0196259.3402 111.5135 154.0417 289.2885 287.7245 353.8739314.3490 219.4976 260.2580 0 252.9220 181.2891 51.257083.5108 268.7152 272.3043 107.7973 329.6898 250.2484246.0516 311.0455 291.3343 252.9220 0 84.6405 207.1488139.1088 184.1657 188.6320 114.5141 260.5613 224.4597204.3093 231.8380 222.0644 181.2891 84.6405 0 143.0888208.3552 137.5593 173.7044 256.0758 299.9111 338.9030304.2244 238.7880 268.0196 51.2570 207.1488 143.0888 0208.8092 317.9117 302.3852 57.3434 302.1527 159.9828180.6553 314.8381 269.2257 344.0749 131.7152 165.2018 308.268655.8807 270.6976 279.1029 137.0580 347.2204 277.9215271.0422 322.8050 308.6528 242.3112 30.1002 91.1976 194.0325256.2799 359.3603 339.5829 103.8816 320.7123 158.0462191.0704 343.9646 291.4835 393.1545 182.4077 216.1788 358.9678194.5150 212.9394 198.9122 47.8056 222.5152 143.4081132.3514 219.0340 185.3696 246.9744 114.2683 84.2122 217.9063199.1295 205.6008 243.2951 297.2733 369.6077 397.1600366.1830 308.5896 337.1668 102.0715 225.3675 183.4049 69.9385136.7110 218.8783 248.8156 248.2262 362.4528 362.1098337.0639 310.6253 326.8177 137.0469 166.2919 139.0822 87.9789251.4154 110.3966 91.8286 154.5285 150.9057 178.0288 137.8893 120.8834 113.2294 176.5657 190.1634 112.4053 168.5571144.7904 283.6168 315.5647 298.4487 430.3480 422.2044 400.3612 378.0866 394.5814 190.9635 202.5214 197.7745 147.6996255.5502 56.1288 90.0747 237.7887 219.3398 285.6339 244.4437 155.4246 190.0264 71.3987 226.2346 143.9403 83.6682362.5907 66.8588 42.3481 285.3531 131.2574 268.4927 219.6888 56.3001 120.7909 176.2626 314.6427 230.9608 204.3817225.2839 328.8453 311.5014 69.9012 304.1330 154.1747 179.1558 320.7678 272.4498 358.6055 148.7578 180.7906 323.712494.7270 350.6024 353.4678 152.8692 401.3322 295.1945 302.5366 389.3148 363.7020 328.9035 81.8917 166.5178 280.5800Columns 14 through 25208.8092 55.8807 256.2799 194.5150 199.1295 136.7110 251.4154 144.7904 255.5502 362.5907 225.2839 94.7270317.9117 270.6976 359.3603 212.9394 205.6008 218.8783 110.3966 283.6168 56.1288 66.8588 328.8453 350.6024302.3852 279.1029 339.5829 198.9122 243.2951 248.8156 91.8286 315.5647 90.0747 42.3481 311.5014 353.467857.3434 137.0580 103.8816 47.8056 297.2733 248.2262 154.5285 298.4487 237.7887 285.3531 69.9012 152.8692302.1527 347.2204 320.7123 222.5152 369.6077 362.4528 150.9057 430.3480 219.3398 131.2574 304.1330 401.3322159.9828 277.9215 158.0462 143.4081 397.1600 362.1098 178.0288 422.2044 285.6339 268.4927 154.1747 295.1945180.6553 271.0422 191.0704 132.3514 366.1830 337.0639 137.8893 400.3612 244.4437 219.6888 179.1558 302.5366314.8381 322.8050 343.9646 219.0340 308.5896 310.6253 120.8834 378.0866 155.4246 56.3001 320.7678 389.3148269.2257 308.6528 291.4835 185.3696 337.1668 326.8177 113.2294 394.5814 190.0264 120.7909 272.4498 363.7020344.0749 242.3112 393.1545 246.9744 102.0715 137.0469176.5657 190.9635 71.3987 176.2626 358.6055 328.9035131.7152 30.1002 182.4077 114.2683 225.3675 166.2919190.1634 202.5214 226.2346 314.6427 148.7578 81.8917165.2018 91.1976 216.1788 84.2122 183.4049 139.0822112.4053 197.7745 143.9403 230.9608 180.7906 166.5178308.2686 194.0325 358.9678 217.9063 69.9385 87.9789168.5571 147.6996 83.6682 204.3817 323.7124 280.58000 161.4474 52.2015 104.9728 343.8665 290.3662210.8742 333.4252 294.6866 340.6189 17.1020 144.2343161.4474 0 211.6783 138.6913 204.1420 143.0827202.6000 174.1636 224.0612 321.3230 178.4367 86.620852.2015 211.6783 0 148.7614 395.9415 342.5491249.8653 384.7434 340.6426 375.5535 35.5826 181.9836104.9728 138.6913 148.7614 0 265.9105 223.2613107.0841 280.2596 191.9114 238.4666 116.4326 179.1650343.8665 204.1420 395.9415 265.9105 0 62.7376234.0714 92.6717 153.2336 272.3805 360.3752 285.9466290.3662 143.0827 342.5491 223.2613 62.7376 0215.8947 67.9266 162.7738 284.3373 307.2438 223.4374210.8742 202.6000 249.8653 107.0841 234.0714 215.8947 0 283.1461 107.6067 131.8203 220.5551 268.8956333.4252 174.1636 384.7434 280.2596 92.6717 67.9266283.1461 0 227.8948 349.8554 350.5272 239.4386294.6866 224.0612 340.6426 191.9114 153.2336 162.7738107.6067 227.8948 0 121.9624 307.6359 307.3481340.6189 321.3230 375.5535 238.4666 272.3805 284.3373131.8203 349.8554 121.9624 0 348.8715 395.752117.1020 178.4367 35.5826 116.4326 360.3752 307.2438220.5551 350.5272 307.6359 348.8715 0 157.8542144.2343 86.6208 181.9836 179.1650 285.9466 223.4374268.8956 239.4386 307.3481 395.7521 157.8542 0>> max(d)ans =Columns 1 through 13399.1076 359.3603 353.4678 298.4487 430.3480 422.2044 400.3612 389.3148 394.5814 393.1545 329.6898 260.5613 358.9678Columns 14 through 25344.0749 347.2204 395.9415 280.2596 397.1600 362.4528 283.1461 430.3480 340.6426 395.7521 360.3752 401.3322>> min(max(d))ans =260.5613[junk1,junk2]=min(max(d))junk1 =260.5613junk2 =12可以知道，当建立在编号为12的乡镇上，能够使得最远的乡镇的学生上学最近问题2的解答：同样的我们可以运用MATLAB软件，得出25个乡镇高中学生的总人数为：>> t=[613 111 275 393 419 564 786 166 75 925 925 645 440 380 104 800 256 129 57 386 673 260 171 407 751 241];sum(t);>> sum(t)sum(t) =10952>> t=[613 111 275 393 419 564 786 166 75 925 645 440 380 104 800 256 129 57 386 673 260 171 407 751 241];>>s=sum(t);>>s=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];>>for i=1:1:25>>for j=1:1:25>>s(i)=s(i)+d(i,j)*t(j);>>end>>end>>a=s/sum(t)a =Columns 1 through 14213.7839 213.3920 210.1087 175.0997 253.3468 226.6081 209.6687 235.6829 225.3197 222.8807 174.4713 156.8589 205.0805 204.0790Columns 15 through 25180.0820 238.8882 162.9099 242.9510 214.9871 168.2456 262.6137 194.7962 239.2380 212.1114 228.1336>> [junk1,junk2]=min(a);>> junk1>>junk1 =156.8589>> junk2junk2 =12我们可以得出高中应该建立在编号为12的乡镇上，使学生往返学校的平均距离最短。