江苏省镇江市丹徒区2018-2019学年九年级（上）期末考试数学试卷一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）1．已知＝，则＝．2．一组数据﹣1，3，7，4的极差是．3．设a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为．4．两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为．5．如图，⊙O的弦AB＝8，OD⊥AB于点D，OD＝3，则⊙O的半径等于．6．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是．7．有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是．8．在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b＝a2﹣b2，则方程（2★3）★x＝9的根为．9．已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，如果BC＝3DE，AC＝6，那么AE＝．10．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝．11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a﹣c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有．12．二次函数y＝（x﹣2m）2+1，当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是．二．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）13．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（）A．18分，17分B．20分，17分C．20分，19分D．20分，20分14．下列线段中，能成比例的是（）A．3 cm，6 cm，8 cm，9 cm B．3 cm，5 cm，6 cm，9 cmC．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm 15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC 平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOCC．CD＝BC D．BC•CD＝AC•OA16．函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若﹣2＜x1＜x2，则（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．y1、y2的大小不确定17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B在x 轴上、点C在y轴上，点A、B、C的坐标分别为A（，0），B（3，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB＝60°，则线段CD长的最小值为（）A．2B．2﹣2 C．4 D．2﹣4三．解答题（共10小题，满分81分）18．（8分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．19．（6分）一直角三角形的三边为a，b，c，∠B＝90°，请你判断关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）＝0的根的情况．20．（7分）为了倡导“节约用水，从我做起”，鼓楼区政府决定对区直属机关300户家庭的用水情况作一次调查，区政府调查小组随机抽查了其中某些家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户用水量每月均在10﹣14吨范围，并将调查结果制成了如图所示的条形统计图（不完整）和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）这些家庭月用水量数据的平均数是，众数是，中位数是；（3）根据样本数据，估计鼓楼区直属机关300户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？21．（6分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．22．（6分）在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：△BEC∽△ABF；（2）求AF的长．23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．（3）若AB＝4，AC＝3，求出（1）中⊙P的半径．24．（10分）如图：河上有一座抛物线形桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB＝6m，建立如图所示的坐标系．（1）当水位上升0.5m时，求水面宽度CD为多少米？（结果可保留根号）（2）有一艘游船它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行，若这船宽（最大宽度）2米，从水面到棚顶高度为1.8米．问这艘船能否从桥下洞通过？25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t＝2时，AD＝4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．26．（10分）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．（1）如图1，求证：KE＝GE；（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝∠ACH，求证：CA∥FE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sin E＝，AK＝，求CN的长．27．（10分）如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC＝135°，且AB＝4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为；（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．参考答案一．填空题1．解：由比例的性质，得b＝a．＝＝＝＝，故答案为：．2．解：∵数据﹣1，3，7，4的最大数为7、最小数为﹣1，∴极差为7﹣（﹣1）＝8，故答案为：8．3．解：∵a是方程x2+x﹣2011＝0的实数根，∴a2+a﹣2011＝0，即a2＝﹣a+2011，∴a2+2a+b＝﹣a+2011+2a+b＝a+b+2011，∵a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a2+2a+b＝﹣1+2011＝2010．故答案为2010．4．解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积之比为4：9．故答案为：4：95．解：连接OA，∵OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD＝BD＝AB＝4，在Rt△AOD中，OD＝3，AD＝4，根据勾股定理得：OA＝＝5，则圆O的半径为5．故答案为：56．解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝6π，解得r＝3，所以圆锥的高＝＝4（cm）．故答案为4cm．7．解：∵等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形中，平行四边形、矩形、正方形、菱形都是中心对称图形，∴从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是：．故答案为：．8．解：根据新定义可以列方程：（22﹣32）★x＝9，（﹣5）2﹣x2＝9，25﹣x2＝9，x2＝16，x1＝4，x2＝﹣4．故答案为：x1＝4，x2＝﹣4．9．解：∵DE∥BC，BC＝3DE，∴＝＝，∵AC＝6，∴AE＝2．故答案为2．10．解：在Rt△BCM中，∵AB＝BC＝4，∠CBM＝60°，∠M＝90°，∴∠BCM＝30°，∴BM＝BC＝2，CM＝BM＝2，∴AM＝4+2＝6，∵四边形AMNP是正方形，∴MN＝MA＝6，∴CN＝MN﹣CM＝6﹣2，故答案为6﹣2．11．解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b＞0；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0；故①正确；②∵a＜0，c＞0，∴a﹣c＜0，∵b＞0，∴b＞a﹣c，故②错误；③根据抛物线的对称性知，当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；故③正确；④∵对称轴方程x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴a＝﹣b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴﹣b+c＜0，∴2c＜3b，故④正确；⑤∵x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，又x＝1时函数取得最大值，当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b），故⑤错误．⑥∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，∵c＞0，∴2a+b+c＞0，故⑥正确．综上所述，其中正确的结论的有：①③④⑥．故答案为：①③④⑥．12．解：∵y＝（x﹣2m）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝2m，∴当x＜2m时，y随x的增大而减小，∵当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，∴m+1≤2m，解得m≥1，故答案为：m≥1．二．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）13．解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23，所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，故选：D．14．解：A、∵3×9≠6×8，故此选项错误；B、∵3×9≠5×6，故此选项错误；C、∵3×9≠6×7，故此选项错误；D、∵3×18＝6×9，故此选项正确；故选：D．15．解：A、∵∠DAC＝∠DBC，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，故此选项正确，不合题意；B、∵△AOD∽△BOC，∴＝，∴＝，又∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△DOC，故此选项正确，不合题意；C、∵△AOB∽△DOC，∴∠BAO＝∠ODC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD＝BC，故此选项正确，不合题意；D、无法得出BC•CD＝AC•OA，故此选项错误，符合题意．故选：D．16．解：∵y＝﹣2x2﹣8x+m＝﹣2（x+2）2+m+8，∴对称轴是x＝﹣2，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，∵﹣2＜x1＜x2，∴y1＞y2．故选：B．17．解：作圆，使∠ADB＝60°，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，如图所示：∵A（，0），B（3，0），∴E（2，0），又∠ADB＝60°，∴∠APB＝120°，∴PE＝1，PA＝2PE＝2，∴P（2，1），∵C（0，5），∴PC＝＝2，又∵PD＝PA＝2，∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP），∴CD最小值为：2﹣2．故选：B．三．解答题（共10小题，满分81分）18．解：（x+1）（x﹣5）＝0，则x+1＝0或x﹣5＝0，∴x＝﹣1或x＝5．19．解：方程化为一般形式为：（a+b）x2﹣2cx+b﹣a＝0，∴△＝4c2﹣4（a+b）（b﹣a）＝4（c2﹣b2+a2），又∵b，c为一直角三角形的三边，且∠B＝90°，∴b2＝c2+a2，∴△＝0，所以方程有两个相等的实数根．20．解：（1）根据统计图可得出被调查的总户数＝10÷20%＝50（户）；平均用水11吨的用户为：50×40%＝20（户），如图所示：（2）这50 个样本数据的平均数是11.6，众数是11，中位数是11；故答案为；11.6，11，11；（3）样本中不超过12吨的有10+20+5＝35（户），∴鼓楼区直属机关300户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有：300×＝210（户）．21．解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，故答案为：；（2）列表如下：由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，所以这两个数字之和是3的倍数的概率为＝．22．解：（1）在矩形ABCD中，有∠C＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝90°∵AF⊥BE，∴∠AFB＝∠C＝90°，∴∠BAF＝∠EBC∴△BEC∽△ABF（2）在矩形ABCD中，AB＝10，∴CD＝AB＝10，∵E为DC的中点，∴CE＝5，又BC＝12，在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE＝13，由△ABF∽△BEC得：即：＝，∴解得：AF＝23．解：（1）如图所示．（2）BC与⊙P相切．证明：作PH⊥BC于H，∵P为∠ACB的角平分线上，PA⊥CA，PH⊥CB，∴PH＝PA，PA是⊙P的半径，∴BC与⊙P相切．（3）在Rt△ABC中，有勾股定理可得：，由S△ABC+S△PAC+S△PBC可得，设PH＝PA＝x，则有，解得：，即⊙P的半径为．24．解：（1）设抛物线形桥洞的函数解析式为y＝ax2+c，把A（3，0），E（0，3）代入得：，解得：，∴y＝﹣x2+3，由题意得：点C与D的纵坐标为0.5，∴﹣x2+3＝0.5，解得：x1＝，x2＝﹣，∴CD＝+＝（米），则水面的宽度CD为米；（2）当x＝1时，y＝，∵﹣0.5＞1.8，∴这艘游船能从桥洞下通过．25．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣10），∵当t＝2时，AD＝4，∴点D的坐标为（2，4），∴将点D坐标代入解析式得﹣16a＝4，解得：a＝﹣，抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x；（2）由抛物线的对称性得BE＝OA＝t，∴AB＝10﹣2t，当x＝t时，AD＝﹣t2+t，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]＝﹣t2+t+20＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）如图，当t＝2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），∵直线GH平分矩形的面积，∴点P是GH和BD的中点，∴DP＝PB，由平移知，PQ∥OB∴PQ是△ODB的中位线，∴PQ＝OB＝4，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．26．（1）证明：连接OG．∵EF切⊙O于G，∴OG⊥EF，∴∠AGO+∠AGE＝90°，∵CD⊥AB于H，∴∠AHD＝90°，∴∠OAG＝∠AKH＝90°，∵OA＝OG，∴∠AGE＝∠AKH，∵∠EKG＝∠AKH，∴∠EKG＝∠AGE，∴KE＝GE．（2）设∠FGB＝α，∵AB是直径，∴∠AGB＝90°，∴∠AGE＝∠EKG＝90°﹣α，∴∠E＝180°﹣∠AGE﹣∠EKG＝2α，∵∠FGB＝∠ACH，∴∠ACH＝2α，∴∠ACH＝∠E，∴CA∥FE．（3）作NP⊥AC于P．∵∠ACH＝∠E，∴sin∠E＝sin∠ACH＝＝，设AH＝3a，AC＝5a，则CH＝＝4a，tan∠CAH＝＝，∵CA∥FE，∴∠CAK＝∠AGE，∴∠CAK＝∠AKH，∴AC＝CK＝5a，HK＝CK﹣CH＝4a，tan∠AKH＝＝3，AK＝＝a，∵AK＝，∴a＝，∴a＝1．AC＝5，∵∠BHD＝∠AGB＝90°，∴∠BHD+∠AGB＝180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG＝360°，∴∠ABG+∠HKG＝180°，∵∠AKH+∠HKG＝180°，∴∠AKH＝∠ABG，∵∠ACN＝∠ABG，∴∠AKH＝∠ACN，∴tan∠AKH＝tan∠ACN＝3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN＝∠CPN＝90°，在Rt△APN中，tan∠CAH＝＝，设PN＝12b，则AP＝9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN＝＝3，∴CP＝4b，∴AC＝AP+CP＝13b，∵AC＝5，∴13b＝5，∴b＝，∴CN＝＝4b＝．27．解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示．∵AB∥x轴，且AB＝4，∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．∵∠ABC＝135°，∴设BD＝t，则CD＝t，∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．∵点C在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t＝a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝﹣，∴S△ABC＝AB•CD＝﹣．（3）∵△ABC的面积为2，∴﹣＝2，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣14m+39＝0，解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，解得：m＝；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣20m+60＝0，解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．综上所述：m的值为或10+2．。