章末总结
知识点一导数的概念
平均变化率表示函数在某个区间内变化的快慢，瞬时变化率(导数)表示函数在某一点处变化的快慢．
f′(x0)＝lim
Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx
.
例
1求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
例
2航天飞机发射后的一段时间内，第t时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.
(1)h(0)，h(1)分别表示什么；
(2)求第1s内高度的平均变化率；
(3)求第1s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义．
知识点二导数的几何意义
函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，利用导数可以求曲线的切线斜率和切线方程．
例3已知曲线方程为y＝x2，
(1)求过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程；
(2)求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
例
4已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图像经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．
(1)求实数a，b的值；
(2)求过已知函数图像上某点处切线的斜率的取值范围．
知识点三导数的计算
导数的计算主要考查导数公式的应用和导数的四则运算，复合函数的求导．在求导数时，一定要认清函数的形式，然后选择适当的公式和法则进行计算．
例
5
(1)求函数f (x )＝4x 3
在x ＝16处的导数；
(2)求函数y ＝x 5＋x ＋sin x
x 2
的导数；
(3)求函数y ＝e sin(2x ＋3)
的导数．
知识点四 导数的实际意义
实际生活中存在大量的变化率问题，我们可以根据导数计算并表示变化的快慢，在实际问题中理解导数的意义．
例
6在受到制动后的t秒内飞轮转过的角度(弧度)由函数φ(t)＝4t－0.3t2给出．
求：(1)t＝2秒时，飞轮转过的角度；
(2)飞轮停止旋转的时刻．
例
7将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x ＋15(0≤x≤18)．求函数y＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义．
答案
重点解读
例
1解f′(x)
＝lim
Δx→02(x＋Δx)2＋4(x＋Δx)－(2x2＋4x)
Δx
＝lim
Δx→04x·Δx＋2(Δx)2＋4Δx
Δx
＝lim
Δx→0
(4x＋2Δx＋4)＝4x＋4，
∴y′|x＝3＝f′(3)＝4×3＋4＝16.
例
2 解 (1)h (0)表示航天飞机未发射时的高度，h (1)表示航天飞机发射1s 后的高度．
(2)Δh Δt ＝h (1)－h (0)1－0
＝80(m/s)， 即第1s 内高度的平均变化率为80m/s.
(3)h ′(1)＝lim Δt →0Δh Δt ＝lim Δt →0h (1＋Δt )－h (1)Δt
＝lim Δt →0
[5(Δt )2＋45Δt ＋120]＝120， 即第1s 末高度的瞬时变化率为120m/s.
它说明在第1s 末附近，航天飞机的高度大约以120m/s 的速度增加．
例
3解(1)∵A(2,4)在y＝x2上．
由y＝x2得，y′＝lim
Δx→0f(x＋Δx)－f(x)
Δx
＝2x.
∴f′(2)＝4.
∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，x20)．
由(1)得y′＝2x，∴f′(x0)＝2x0.
∴切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)．
∵点(3,5)在切线上，∴5－x20＝2x0(3－x0)．
即x20－6x0＋5＝0.
解得x0＝1或x0＝5，
∴切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
例
4 解 (1)因为y ′＝f ′(x )
＝lim Δx →0a (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )2－ax 3－bx 2
Δx
＝3ax 2＋2bx .
∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图像过点M (1,4)，
∴a ＋b ＝4.
又∵曲线在点M 处的切线与直线x ＋9y ＝0垂直，
∴f ′(1)＝9，∴3a ＋2b ＝9.
由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝43a ＋2b ＝9得，⎩⎪⎨
⎪⎧ a ＝1
b ＝3.
(2)由(1)知y ′＝f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＝3x 2＋6x
＝3(x ＋1)2－3≥－3.
∴过已知函数图像上某点处的切线的斜率的取值范围是k ≥－3.
例
5 解 (1)∵f ′(x )＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34
x －14＝
344x ，
∴f ′(16)＝34·416
＝
34×2＝38. (2)∵y ＝x 3＋x －32＋sin x x 2， ∴y ′＝(x 3)′＋(x －32)′＋(sin x )′x 2－(x 2)′sin x x 4
＝3x 2－32x －52＋x 2cos x －2x sin x x 4
＝3x 2－32x －52
＋x －2cos x －2x －3sin x . (3)设y ＝e u ，u ＝sin t ，t ＝2x ＋3，
则y ′＝y ′u ·u ′t ·t ′x ＝e u cos t ×2
＝2e sin(2x ＋3)·cos(2x ＋3)． 例
6
解
(1)t ＝2秒时，飞轮转过的角度 φ(2)＝8－1.2＝6.8(弧度)．
(2)由题意得，φ′(t )＝4－0.6t ，
飞轮停止旋转，即瞬时角速度为0，
所以令4－0.6t ＝0⇒t ＝203.
所以在t ＝203秒时飞轮停止转动． 例
7解∵f′(x)＝2x－7，∴f′(6)＝5.
导数f′(6)＝5表示当x＝6h时原油温度的瞬时变化率，即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6h时温度的变化速度，每经过1h，原油温度将升高5℃.。