章末检测(二) 概 率时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某人射击的命中率为p (0＜p ＜1)，他向一目标射击，当第一次射中目标则停止射击，射击次数的取值是( )A ．1,2,3，…，nB ．1,2,3，…，n ，…C ．0,1,2，…，nD ．0,1,2，…，n ，…解析：射击次数至少1次，由于命中率p ＜1，所以，这个人可能永远不会击中目标． 答案：B2．若随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)＝( )A.19B.16C.14D.13解析：由分布列的性质12a ＋22a ＋32a ＝1，解得a ＝3，则P (X ＝2)＝22a ＝13.答案：D3．将一枚硬币连掷4次，出现“2个正面，2个反面”的概率是( ) A.12 B.38 C.25D ．1解析：掷一枚硬币一次看作一次试验，出现正面事件为A ，则P (A )＝12，而连掷4次可看成4次独立试验，由题意，硬币出现正面的次数X ～B (4，12)，故可得P (X ＝2)＝C 24·(12)2·(12)2＝38. 答案：B4．已知X ～B (n ，p )，EX ＝2，DX ＝1.6，则n ，p 的值分别为( ) A ．100,0.8 B ．20,0.4 C ．10,0.2D ．10,0.8解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2，np (1－p )＝1.6，解得p ＝0.2，n ＝10.答案：C5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么下列事件中发生的概率为710的是( )A ．都不是一等品B ．恰有1件一等品C ．至少有1件一等品D ．至多有1件一等品解析：P (都不是一等品)＝C 22C 25＝110，P (恰有1件一等品)＝C 13C 12C 25＝35，P (至少有1件一等品)＝C 13C 12＋C 23C 25＝910，P (至多有1件一等品)＝C 22＋C 13C 12C 25＝710. 答案：D6．随机变量X 的分布密度函数f (x )＝12πe 22x - (x ∈R)，X 在(－2，－1)与(1,2)内取值的概率分别为P 1和P 2，则P 1和P 2的大小关系是( )A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．不能确定解析：由f (x )＝12πe 22x -可知随机变量X ～N (0,1)，由于f (x )的图像关于直线x ＝0对称，且区间(－2，－1)与(1,2)为两个对称区间，故P 1＝P 2.答案：C7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个问题的概率是P 2，那么其中至少有一人能解决这个问题的概率是( )A ．P 1＋P 2B ．P 1·P 2C ．1－P 1·P 2D ．1－(1－P 1)·(1－P 2)解析：至少有1人能解决这个问题的对立事件是两人都不能解决，两人解决问题是相互独立的，故所求概率为1－(1－P 1)·(1－P 2)．答案：D8．设ξ为离散型随机变量，则E (Eξ－ξ)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定解析：∵Eξ是常数，∴E (Eξ－ξ)＝Eξ－Eξ＝0. 答案：A9．已知X 的分布列为：设Y ＝2X ＋1，则Y 的数学期望EY 的值是( ) A ．－16B.23 C ．1D.2936 解析：EY ＝2EX ＋1，由已知得a ＝13，∴EX ＝－12＋13＝－16，∴EY ＝23.答案：B10．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49 B.190 C.45D.59解析：该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.答案：B11．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X ～N (110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )A ．(90,100]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]解析：∵X ～N (110,52)， ∴μ＝110，σ＝5，5760＝0.95≈P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ) ＝P (100＜X ≤120)． 答案：C12．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.14解析：满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. 所以所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13．设随机变量X ～B (4，13)，则P (X ≥3)＝________.解析：P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝C 34(13)3×23＋C 44(13)4＝881＋181＝981＝19. 答案：1914．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员投中3分的概率是________．解析：由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以投中3分的概率是16. 答案：1615．两台车床加工同一种机械零件质量情况如下表：从这100个零件中任取一个零件，取得的零件是甲机床加工的产品，则是合格品的概率是________．解析：记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件A ，记“从100个零件中任取一件取得合格品”为事件B .则P (B |A )＝n (AB )n (A )＝3540＝0.875. 答案：0.87516．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望EX ＝________.解析：由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的概率分布为：EX ＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：53三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？ (2)成绩在80～90间的学生占多少？解析：(1)设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10. 分析成绩在60～80之间的学生的占比为： P (70－10＜X ≤70＋10)＝0.683， 所以成绩不及格的学生的占比为： 12(1－0.683)＝0.158 5， 即成绩不及格的学生占15.85%.(2)成绩在80～90之间的学生的占比为：12[P (70－2×10＜X ≤70＋2×10)－P (70－10＜x ≤70＋10)]＝12(0.954－0.683)＝0.135 5， 即成绩在80～90之间的学生占13.55%.18．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X 表示．据统计，随机变量X 的概率分布如下表所示.(1)求a 的值和X 的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解析：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1，解得a ＝0.2. ∴X 的概率分布为：∴EX ＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”；事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．则由事件的独立性，得P (A 1)＝C 12P (X ＝2)·P (X ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08， P (A 2)＝[P (X ＝1)]2＝0.32＝0.09， ∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.19．(12分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列，期望和方差；(2)若η＝aξ＋b ，Eη＝1，Dη＝11，试求a ，b 的值．解析：(1)由题意，得ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120，P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320，P (ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为：以Eξ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，Dξ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (aξ＋b )＝a 2Dξ＝11，E (aξ＋b )＝aEξ＋b ＝1，及Eξ＝1.5，Dξ＝2.75，得2.75a 2＝11,1.5a ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝－2或a ＝－2，b ＝4.20．(12分)把一副扑克(除去大小王)的52张随机均分给赵、钱、孙、李四家，A＝{赵家得到6张草花(梅花)}，B＝{孙家得到3张草花}．(1)计算P(B|A)；(2)计算P(A∩B)．解析：(1)四家各有13张牌，已知A发生后，A的13张牌已固定，余下的39张牌中恰有7张草花，在另三家中的分派是等可能的．问题已经转变成：39张牌中有7张草花，将这39张牌随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到3张草花的概率.于是P(B|A)＝C37C1039－7C1339≈0.278.(2)在52张牌中任选13张牌有C1352种不同的等可能的结果．于是Ω中的元素为C1352，A中的元素数为C613C739，利用条件概率公式得到P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝C613C739C1352×0.278≈0.012.21．(12分)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．解析：(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝3 4.所以X的分布列为故X 的数学期望为EX ＝2×14＋3×34＝114.22．(14分)从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求：(1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．解析：(1)设“选出的3位同学中，至少有一位男同学”为事件A ，则事件A 为“选出的3位同学中没有男同学”，而P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56.即选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为56.(2)设“女同学甲和男同学乙被选中”为事件A ，“女同学甲通过测验”为事件B ，“男同学乙通过测验”为事件C ，则“甲、乙同学被选中且通过测验”为事件A ∩B ∩C ，由条件知A 、B 、C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35，所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125.即甲、乙同学被选中且通过测验的概率为4125.。