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多项式函数有两种表示方法，即
P(x)= anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
和
P(x)= an (x-x1) (x-x2) … (x-xn) 。
仿照多项式情形，欧拉把黎曼函数表示为无穷 乘积的形式：
1 (s) s p是素数 1 p
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一个问题称为是P的，如果它可以通过运行 多项式次(即运行时间至多是输入量大小的多项 式函数的一种算法)获得解决； 一个问题是 NP 的，如果所提出的解答可以 用多项式次算法来检验。 P等于NP吗? 大部分复杂性理论工作者相信： P ≠ NP. 例如，今天的大多数密码都是建立在一 种假设的基础上，即对大整数（比如200位）进 行因子分解从计算上说是不可行的问题。
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黎曼又把它开拓到整个复数平面，成为复 变量s的函数，这包含了非常多的信息，当然 它包含了所有素数的信息。 正如多项式的情形一样，函数的信息大部 分包含在其零点的信息当中，因此，黎曼函 数的零点就成为大家关心的头等大事。
希尔伯特说……
只要一门学科分支能提出大 量的问题，它就充满着生命力； 而问题缺乏则预示着独立发展的 衰亡或终止。正如人类的每项事 业都追求着确定的目标一样，数 学研究也需要自己的问题。正是 通过这些问题的解决，研究者锻 炼其钢铁般的意志，发现新方法 和新观点，达到更为广阔和自由 的境地。
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“Yang-Mills场的存在性和质量缺口”就 是与四维量子场论的数学理解相关的一个问 题。具体表述为： Yang-Mills场的存在性和质量缺口问题
对于任意紧致单群G，在R4 上存在 以群G为规范群的有质量量子的YangMills场。
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3. P问题对NP问题
这个问题与哲学上什么是可知的，什么 是不可知的问题密切相关,属于计算复杂性理 论。
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在一个盛大晚会上。你想知道这一大 厅中是否有你已经认识的人。你的朋友向 你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附 近角落的女士丹丹。不费一秒钟，你就能 向那里扫视，并且发现你的朋友是正确的。 然而，如果没有这样的暗示，你就必须环 顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看 是否有你认识的人。生成问题的一个解通 常比验证一个给定的解时间花费要多得多。
无零点
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黎 曼 ﹐G.F.B., (Riemann﹐Georg Friedrich Bernhard)1826 年9 月17 日生于德国汉 诺威的布雷斯塞伦茨 (Breselenz) ； 1866 年 7 月20 日卒于意大利塞拉 斯卡(Selasca)。
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Riemann 猜想的具体表述依赖于黎曼 函数：
(s)
n
n 1

1
s
,
s it ( , t 是实数 ）
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在多数情况下，在向世界难题 进军过程中所作的努力与尝试，所 产生的思想与方法等，这些对数学 发展的促进与推动，其意义要大于 难题本身的意义和难题的最终解决。
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2. Poincare猜想
已经解决了 庞加莱(Poincare)猜想
任何单连通的三维流形（正如我们 所在的宇宙空间）一定是一个三维球面。
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当解是一个Abel簇的点时，Birch和SwinnertonDyer猜想认为，有理点的解的多少与一个有关 的Zeta函数 (s) 在点 s = 1 附近 的性态有关。 具体来讲：
Birch和Swinnerton-Dyer猜想
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数学之问
The Question of Mathematics
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数学之问 简明深刻
问题是数学的心脏，是数学发展的动力 . 数学的历史就是数学问题的提出、探索、解 决的历史.
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判定一个答案是可以很快利用内部 知识来验证，还是没有这样的提示而需 要花费大量时间来求解，被看作逻辑和 计算机科学中最突出的问题之一。它是 斯蒂文 • 考克 (StephenCook) 于 1971 年陈 述的。
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1 2
3 4
古代几何作图三大难题 费马大定理 哥德巴赫猜想 四色猜想 庞加莱猜想 千禧年七大数学难题
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5 6
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4. Hodge猜想
这个问题与Poincare猜想一样是关于流形的，但 是它没有那么简单明了的表述。二十世纪的数学家们 发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法，其基本 想法是：在多大程度上，可以把给定的复杂对象的形 状通过把维数不断增加的简单几何块儿粘合在一起来 形成。不幸的是，在实际操作中，几何块变得模糊起 来，在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释 （意义）的部件。Hodge猜想与此有关。
黎曼函数的所有非平凡零点的 实部等于1/2，即满足
1 2
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1 1 1 ( s) 1 s s ... s ... 2 3 n
复平面
Im
无穷多零点
平凡零点: -2, -4, -6, …. 0
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6. Navier-Stokes方程的存在性与光滑性
数学家和物理学家深信，无论是微风还是 湍流，都可以通过理解Navier-Stokes方程的解， 来对它们进行解释和预言。Navier-Stokes方程描 述了Rn (n=2 或3) 中流体的运动。这个方程要对 关于位置x ∈ Rn和时间t ≥ 0定义的未知速度向量 u(x,t) = (ui(x,t))1≤i≤n ∈ Rn以及压力p(x,t) ∈ Rn求 解。其基本的问题是判断Navier-Stokes方程是否 存在光滑的、在物理上合理的解。
通过一幕幕历史镜头生动地再现一些数 学问题的缘起、产生、发展、争端，直至最 终解决的各个历程，可以了解数学家如何提 问？如何思考？关注什么？意义何在？对于 正确认识数学的本质具有重要意义.
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当解是一个Abel簇的点时，如果(1) = 0 ， 则存在无穷多个有理点解，相反，如果(1) ≠ 0 ， 则只存在有限多个有理点解。
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结束语
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古代三大数学难题，近代三大数学 难题，以及七个现代数学问题，跨越 2000 多年，倾注了无数数学家的心血。 有些已经解决，有些尚未解决。有些有 明显的应用价值，有些却看不到直接的 应用前景。但是它们的确是数学问题的 一个缩影，反映了数学问题的共同特征：
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5. Yang-Mills场的存在性和质量缺口
这个问题要求对量子场论的未知物理和 相应的数学构造有较深入的理解，量子场是 指时空中满足一定要求的一个算子取值的广 义函数。大约半个世纪以前，Yang（杨振宁） 和Mills发现：量子物理揭示了在基本粒子物 理与几何对象的数学之间的令人瞩目的关系。
可以知道，黎曼函数在负偶数 –2, -4, -6 ,… 等处有零点，人们称这些为“平凡零点”。