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简单的二元二次方程组(课堂总结)

简单的二元二次方程组总结一、知识梳理1、解方程组基本思想:(1)消元;(2)降次。

常用的方法有:代入消元法、因式分解法、韦达定理法、换元法、方程组相加(或倒数相加法)、消项后因式分解法等。

2、当方程组中含有分式方程或无理方程时,一定要注意验根(因为可能存在增根)。

3、当方程组只有一组实数解时,先将方程组化为含一个未知数的一元二次方程,同时要注意观察原方程组的组成,分情况考虑:(1)当方程组为整式方程组时,考虑两种情况:① 一元二次方程二次项系数等于零时;②一元二次方程判别式0=∆。

(方程组中若某个方程如:02=-y x ,则可理解为无理方程y x ±=来考虑。

) (2)当方程组中含有无理方程或分式方程时,分为以下三种情况:① 一元二次方程二次项系数等于零时;②一元二次方程判别式0=∆;③一元二次方程的一个根为增根(对于分式方程:增根为使分母等于零的根;对于无理方程,增根为使0<a 或0<a 的根。

)二、解题方法1、代入消元法例1 ⎩⎨⎧=-=+-+340)2()(2x y y x y x (2)(1)解:由)2(式得:3+=x y )3(将)3(式代入(1)式得:034942=-+x x 即:0)174)(2(=+-x x 解得 417,221-==x x 代入)3(式可得: 45,521-==y y所以原方程组的解为:⎩⎨⎧==5211y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=4541722y x 。

2、因式分解法例2 ⎩⎨⎧=+=--4502322222y x y xy x (2)(1)解:由)1(式得:0)2)(2(=-+y x y x )3( 即 02=+y x 或02=-y x︒1 ⎩⎨⎧=+=+45222y x y x 解得:⎩⎨⎧=±=6311 y x ︒2 ⎩⎨⎧=+=-45222y x y x 解得:⎩⎨⎧±=±=3622y x 所以原方程组的解为:………3、利用韦达定理法例3 ⎪⎩⎪⎨⎧==-1010311xy y x (2)(1)解:由)2(式得:1011-=-xy )3( 令y x 1,1-为方程01011032=--t t 的两根, 则:013102=--t t 即 0)15)(12(=+-t t 51,2121-==∴t t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=∴511211y x 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=211511y x解得:⎩⎨⎧-==5211y x 或 ⎩⎨⎧-==2522y x经检验,………是原方程组的解。

4、换元法例4 ⎩⎨⎧++-=+++=++++)3)(2(741)3()2(34)3)(2(22y x y x y x y x (2)(1)解:设t y s x =+=+3,2,原方程组可化为:⎩⎨⎧-=+=++stt s st t s 7413922 再设 v st u t s ==+,得⎩⎨⎧=-=+741392v u v u)2()1()1()2(÷得:19=-v u )3(由)1(、)3(解得:⎩⎨⎧==10029v u ,即⎩⎨⎧==+10029st t s解之得⎩⎨⎧==425t s 或⎩⎨⎧==254t s即⎩⎨⎧=+=+43252y x 或 ⎩⎨⎧=+=+25342y x由此并检验得原方程组的解为⎩⎨⎧==12311y x 或⎩⎨⎧==22222y x 。

5、方程组相加(或倒数相加法)(1)对于一些各个方程的结构很整齐的方程组,可从整体来考虑,先求出它们的和,再来化简各个方程。

(2)取倒数时需要考虑零是否是方程组的根。

例5 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=-+-=-+222278)(252)(239)(z z y x z y y x z y x x z y x )3()2()1(解:由)3()2()1(++式得:169)(2=++z y x )3( ……………例5 222222c b a z y x bx ay xy az cx zx cy bz yz ++++=+=+=+ (其中c b a ,,均不为0)。

解:由方程组知z y x ,,这三个数中,只要有一个为0,则另两个必为0,从而分母 ,0=+cy bz 不合题意,因此z y x ,,均不为0。

令kc b a z y x bx ay xy az cx zx cy bz yz 1222222=++++=+=+=+ 对方程组取倒数得:k ybx a k x a z c k z c y b =+=+=+,, 三式相加整理得:k z c y b x a 23=++ )1( )1(式分别减去以上每一式子得:2,2,2k z c k y b k x a === 所以z kc y k b x k a 2,2,2===, 代入kc b a z y x 1222222=++++,解得4=k , 所以2,2,2c z b y a x ===, 经检验,原方程组的解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===222c z b y a x 。

6、消项后因式分解法对于复杂的二元二次方程组,以上1~5的方法都不适用时:(1)不含一次项时消常数项后再进行因式分解;(2)消去对应成比例项再进行因式分解(二次项系数对应成比例则消去二次项、x 或y 项系数对应成比例则消去x 或y 项、非二次项系数成比例则消去非二次项)。

例7 ⎩⎨⎧=+-=-+86352522222y xy x y xy x 例8 ⎩⎨⎧=+-+--=+-+--0132412630838422222y x y xy x y x y xy x 例9 ⎩⎨⎧=++++=++++03206422222y x y xy x y x y xy x 例10 ⎩⎨⎧=+--+=-+++036301222y x y xy y x xy x 【思考题】1、解方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=-+-=-+222278)(252)(239)(z z y x z y y x z y x x z y x (2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+5356136222222x z xyz z y xyz y x xyz (3)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++785239xz xy z yz x yz xy z xz y xy xz y yz x (4)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++2471y y x x y y x x(5)⎩⎨⎧=++=++2454144)53)(1(2y x x y x x x (6)⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++xyy x yx y x 24)4)(9(104922 (7)⎩⎨⎧-=++--=+1212033y x y x (8)⎩⎨⎧+=++=+26215222y xy x y y x(9)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+612331y y x y x y x (10)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=+++=+++43)2)(1(32221z y z y z x x xz y x xxy 2、已知实数d c b a ,,,互不相等,且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111,试求x 的值。

3、已知⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-1989)(1990)(1989)(19880)(1990)(1989)(1988222x z z y y x x z z y y x ,求y z -的值。

(1989)三、错题整理1、解下列方程组:(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+x z zz y yy x x 222222414414414 (2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++411131112111y x z x z y z y x(3)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++=+++432222221z y z y yz z x x xz y x xxy (4)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++192837222222z yz y z xz x y xy x(5)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+y xy z z zx y x yz x 2222222、已知:zxx z zxx z yz z y yz z y xy y x xy y x 43322++-+=++-+=++-+,且z y x 132-=,则z y x ++的值为________________________。

3、设y x ,为实数,且满足⎩⎨⎧=-+--=-+-1)1(1999)1(1)1(1999)1(33y y x x )2()1(,则=+y x ________。

4、已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+--)12(0212x k y y x kx (y x ,为未知数)有两组不同的实数解⎩⎨⎧==11y y x x ⎩⎨⎧==22y y x x 。

(1)求实数k 的取值范围______________。

5、已知方程组⎩⎨⎧=+=+62322y x ky x )2()1()1(>k 。

(2)若两组实数解为),(11y x 和),,(22y x 且)(42121x x y y +=+,求k 的值________________。

6、已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-+-+=-01202222a ay y x y x 恰有两个不同的实数解,求实数a 的取值范围_______________________。

7、求使方程组⎩⎨⎧=-=-a x y ay x 6522有正整数解的a 的值_________________________。

8、设c b a ,,均为非零实数,且)(4),(3),(2a c ca c b bc b a ab +=+=+=,求c b a ++的值__________________。

9、已知方程组⎩⎨⎧=--=---020102y x a y ax 只有一组实数解,求a ____________。

10、已知z y x ,,是正整数,并且满足⎩⎨⎧+-++=++=-153043z y x z y x y x ,那么z y x +-的值等于____________________。

11、方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+5356136222222zx xyz z y xyz y x xyz的解=),,(z y x __________________________________。

12、若方程组⎩⎨⎧+-=-++=+yx a y x yx a y x 2)(2)(22有唯一一组实数解,则实数a 的值为_______。

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