函数的周期性㈠ 主要知识：1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤)()(x a f x a f -=+，则)(x f 是以a T =为周期的周其函数； ⑥1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >）若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；图象的对称性一个函数的对称性：1、函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++特殊的有：① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。

② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。

③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。

④ c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(c b a + 对称 2、两个函数的对称性：①)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。

②)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。

③)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. 函数)(x a f y -=与函数)(b x y -=关于直线2b a x +=对称。

特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称⑤ )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

⑥ )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。

⑦ )()(1x f y x f y -==与关于直线x y =对称例1 定义在R 上的非常数函数满足：)10(x f +为偶函数，且)5()5(x f x f +=-，则)(x f 一定是（ ）A. 是偶函数，也是周期函数B. 是偶函数，但不是周期函数C. 是奇函数，也是周期函数D. 是奇函数，但不是周期函数解：因为)10(x f +为偶函数，所以)10()10(x f x f -=+。

所以)(x f 有两条对称轴105==x x 与，因此)(x f 是以10为其一个周期的周期函数，所以x ＝0即y 轴也是)(x f 的对称轴，因此)(x f 还是一个偶函数。

故选（A ）。

例 2 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，x x f 21)(-=，则=)6.8(f ___________ 解：因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以)(0x f y x ==是的对称轴；又因为)(1)1()1(x f y x x f x f ==-=+也是所以的对称轴。

故)(x f y =是以2为周期的周期函数，所以3.0)6.0()6.0()6.08()6.8(=-==+=f f f f例3 函数)252sin(π+=x y 的图像的一条对称轴的方程是（ ）45.8.4.2.ππππ==-=-=x D x C x B x A 解：函数)252sin(π+=x y 的图像的所有对称轴的方程是2252πππ+=+k x ，所以ππ-=2k x ，显然取1=k 时的对称轴方程是2π-=x ，故选（A ）。

例 4 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x ，则：=++++)5()4()3()2()1(f f f f f _____________解：函数)(x f y =的图像既关于原点对称，又关于直线21=x 对称，所以周期是2，又0)0(=f ，图像关于21=x 对称，所以0)1(=f ，所以 0)5()4()3()2()1(=++++f f f f f例5、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。

例6（08湖北卷6）已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 AA.-2B.2C.-98D.98例7（08四川卷）函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213例8 （2010安徽理数）若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则)4()3(f f -的值为（ ）A 、1- B 、1 C 、2- D 、2例9 （09江西卷）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 ( C )A ．2-B ．1-C ．1D ．2例10 2009广东三校一模）定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,则()()()741f f f ++等于 (B)A.-1B.0C.1D.4例11 （2009全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，2)1(=f 则=)2009(f (D)A 、2009B 、-2009C 、-2 D.、2例12 ()f x 的定义域是R ，且(2)[1()]1()f x f x f x +-=+,若(0)2008f =求 f (2008)的值。

解：(4)11(2)11(4)1()(8)(4)1(2)1(4)1(4)1f x f x f x f x f x f x f x f x f x +--+--++====++-++++++ 周期为8，(2008)(0)2008f f ∴==例13 已知函数f （x ）的定义域为R ，则下列命题中：①若f （x －2）是偶函数，则函数f （x ）的图象关于直线x ＝2对称；②若f （x +2）＝－f （x －2），则函数f （x ）的图象关于原点对称；③函数y ＝f （2+x ）与函数y ＝f （2－x ）的图象关于直线x ＝2对称；④函数y ＝f （x －2）与函数y ＝f （2－x ）的图象关于直线x ＝2对称.其中正确的命题序号是 ④ .【解析】 ①是错误的，由于f （x －2）是偶函数得f （－x －2）＝f （x －2），所以f （x ）的图象关于直线x ＝－2对称；②是错误的，由f （x +2）＝－f （x －2）得f （x +4）＝－f （x ），进而得f （x +8）＝f （x ），所以f （x ）是周期为8的周期函数；③是错误的，在第一个函数中，用－x 代x ，y 不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y 轴对称；④是正确的，令x －2＝t ，则2－x ＝－t ，函数y ＝f （t ） 与y ＝f （－t ）的图象关于直线t ＝0对称，即函数y ＝f （x －2）与y ＝f （2－x ）的图象关于直线x ＝2对称.例14（x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）＝0，则方程f （x ）＝0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 ( D )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 ∵f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0，又函数f （x ）以3为周期，且f （2）＝0，∴f （－2）＝0，f （1）＝0，f （4）＝0，f （3）＝0，f （5）＝0，∴在区间（0，6）内的解有1，2，3，4，5.故选D.练习12、对函数f （x ），当x ∈（－∞，∞）时，f （2－x ）＝f （2+x ），f （7－x ）＝f （7+x ），在闭区间［0,7］上，只有f （1）＝f （3）＝0.（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性；（2）试求方程f（x）＝0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论.【分析】由已知f（2+x）＝f（2－x），f（7－x）＝f（7+x）知f（x）的图象有两条对称轴x＝2和x＝7，从而知f（x）是周期为10的周期函数，又在区间［0，7］上，只有f（1）＝f（3）＝0，画图易知，它是非奇非偶函数，且在一个周期［0，10］上只有2个根，故易求得方程f（x）＝0在的根的个数.【解】（1）由已知得f（0）≠0，∴f（x）不是奇函数，又由f（2－x）＝f（2+x），得函数y＝f（x）的对称轴为x＝2，∴f（－1）＝f（5）≠0，∴f（－1）≠f（1），∴f（x）不是偶函数.故函数y＝f（x）是非奇非偶函数；（2）由f（4－x）＝f（14－x）f（x）＝f（x+10），从而知y＝f（x）的周期是10.又f（3）＝f（1）＝0，f（11）＝f（13）＝f（－7）＝f（－9）＝0，故f（x）在［0，10］和［－10，0］上均有两个解，从而可知函数y＝f（x）在［0，2005］上有402个解，在上［－2005，0］有400个解，所以函数y＝f（x）在［－2005，2005］上有802个解.函数的图象1．描绘函数图象的基本方法有两种：描点法与图象变换法。