当每个小区间的长度都很小时，小区间 [ xi 1 , xi ] 上的力 F F ( i ) , i [ xi 1 , xi ] 在 [ xi 1 , xi ] 上，力 F 作的功 Wi F ( i )x i 2）求 和 力F在 [ a , b] 上作的功 W Wi F ( i ) xi

n
i 1
f ( i ) x i
的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为 一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积 分下一个定义
定义
设
f ( x ) 是定义在区间 [ a , b] 上的一个函数，在闭区间
[ a, b] 上任取 n-1 个分 a x1 x i 1 x i x n b 把 [a,b] 分成 n 个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一 个分割，用 T 表示, 分割的细度用 || T || max{ xi } 表示，在分割 T 所属的各个小区间内各取一点 i [ xi 1 , xi ] 称为介点] i1 上任取一点 i，
o a
x1
x i 1 i xi
xn1 b
x
以[ x , xi ]为底， f (i ) 为高的小矩形面积为 i1
Ai f( ξ i ) Δx i
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
当分割无限加细 , 即小区间的最大长度
第九章
定积分
教学目标
1、掌握定积分概念及基本性质； 2、理解可积的充要条件、充分条件、必要条件； 3、掌握积分中值定理、微积分基本定理、牛顿莱布 尼兹公式；
4、掌握定积分的计算方法（换元法、分部积公法
等）。
§1 定积分的概念
定积分概念的引入 一． 背景： 1. 3. 曲边梯形的面积: 函数的平均值: 2. 4. 变力所作的功: 原函数的构造型定义:
图1 长江三峡溢流坝断面
C D
A
B
，以“直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在 我们我们来计算一下溢流坝上部断面面积。 假设抛物线方程为 y 1 x2 , x [0 , 1] , 将 [ 0, 1] 等分成 n
等份，抛物线下面部分分割成 n 个小曲边梯形第 i 个小曲边梯形用 1 i 宽为 ，高为 1 n n

i 1
n
f ( i )x i
以后简记为

f
(T )
此和式称为 f ( x ) 在 [ a, b] 上属于分割 T 的积分和 （或黎曼和， 设J是 一个确定的数，若对任意 0 总存在某个 0 ，使得 [ a , b] 上的
上的任何分割 T， 只要它的细度 || T || ， 属于分割 T 的所有积分和
比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学 原理设计的，如图 1 所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线， 下面部分是圆弧。建造这样的大坝自 然要根据它的体积备料，计算它的体积就 需要尽可能准确的计算出它的断面面积。 该断面最上面抛物线所围的那一块面积该 怎样计算呢？在介绍微分定义 时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾 ，但它们可以相互转化，早在三国时代， 我国古代代数学家刘徽就提出了“割圆术”
1
曲边梯形的面积
中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算， 这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工 程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我 们通常用一些小矩形面积的和来近似它。
y
y
o
a
b
x
o
a
b
x
上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况 精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲 边图形的准确面积呢？ 比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学 原理设计的，如图 1 所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直
max{ x1 , x2 , xn }
趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为
A lim f ( i )xi
0 i 1
n
3） 取极限 对上面和式取极限， 极限值,就是力在 [ a , b] 上作的功。 从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力 作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取 极限”，或者说都归结为形如
i 1 i 1 n n
分割越细，近似程度越高，分割无限细时，即分割细度 || T || max{ xi } 0 近似程度就无限高.
将这种方法用于一般的曲边梯形：
在区间[a,b]内插入若干个分点， a x x x x xn b, 0 1 2 n1
把区间 [a, b] 分成 n 个小区间 [ x , xi ]， i1 长度为 xi xi x ; i1

f
(T ) 都有
| f (T ) J | 则称 f ( x ) 在 [ a, b] 上可积， 称 J 为函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的定积分 (或黎曼积分)，记作
2
的矩形代替，
i 1 n
1 n
2
它的面积 所求的总面积
i2 1 ΔS (1 ) i 2 n n n i2 1 1 n 2 Sn (1 ) 1 i 2 3 n i1 n n i 1 2n 2 3n 1 2 1 3 6n 2
我们分别取 n=10, 50, 100 用计算机把它的图象画出来，并计 算出面积的近似值： clf, n=10; y=1-x.^2; x=0:1/n:1; y1='1-x.^2';
再看一个变力做功的问题。 设 质点 m 受力 F ( x) 的作用，沿直线由 A 点运动到 B 点，
求变力 F ( x) 作的功
F(x)
A
B
F 虽然是变力，但在很短一段间隔内 x ，F 的变化不大，可近似看 作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想， 1） 对 [ a , b ] 作分割
a x1 xi 1 xi xn b