正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数和余弦函数的定义【要点链接】1．单位圆的定义：注意两点：以原点为圆心，以单位长为半径． 2．任意角的正弦函数和余弦函数的定义：对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合： ①终边与单位圆交于点),(v u P ，过P 作PM 与x 轴垂直，垂足为M ，那么v =αsin ，u =αcos ；线段MP 为角α的正弦线，线段OM 为角α的余弦线． ②可设终边上不同于原点的任意一点为),(y x P ，r OP =， 那么r y =αsin ，rx =αcos ． 注意②是正弦函数和余弦函数的定义的推广，可直接应用．3．周期与最小正周期：记住正弦函数和余弦函数的最小正周期都为π2，可直接用． 会判断一个数是否是一个函数的周期． 【随堂练习】 一、选择题1．单位圆是指（ ）A ．半径为1的圆B ．圆心为坐标原点且半径为1的圆C ．半径为整数的圆D ．圆心为坐标原点且半径为整数的圆 2．若sin cos 0αα>且cos 0α<，则α的终边所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知角α的终边过点(1,2)P -，则cos α的值为（ ）A ．25B ．C ．552D ．-4．设0a <，角α的终边经过点(3,4)P a a -，那么sin 2cos αα+的值等于（ ）A ．52B ．－52C ．51D ．－51二、填空题5．0sin(60)-=_______．6．若角α的终边在直线2y x =上，且sin 0α<，那么cos α=_______． 7．角α的终边上有一点(,5)P m ，且)0(,13cos ≠=m mα，则m =______．三、解答题8．已知单位圆上一点()2P a -，设以射线OP 为终边的角(02)θθπ<<，求角θ 的正弦值，并作出角θ的正弦线．9．已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4（且均不为零）， 求2sin cos αα+的值．答案1．B 由单位圆的定义可知．2．C 知cos 0α<且sin 0α>，那么α在第三象限．3．D知OP =α的终边与单位圆的交点为(,)x y ，由相似比知1cos x OP α-===． 4．A 知射线OP 方程为4(0)3y x x =-≥，它与单位圆的交点为34(,)55-， 则4sin 5α=-，3cos 5α=，所以2sin 2cos 5αα+=．5．-画出060-角的终边，它与单位圆的交点为1(,2，则0sin(60)-=． 6．直线2y x =与单位圆的交点为或(，而sin 0α<，则cos α=． 7．12±由相似比知cos 13m α==12m =±． 8．解：因为点P在单位圆上，则22(1a +=，解得12a =±当12a =时，点P 坐标为1()2，则1sin 2θ=；当12a =-时，点P 坐标为1()2-，则1sin 2θ=-． 角θ的正弦线即为图中的MP 与MP '．9．解：设0a >，点P 的情况有四种：(4,3)a a 、(4,3)a a -、(4,3)a a --、(4,3)a a -．若角α终边过点(4,3)P a a ，则254532cos sin 2=+⋅=+αα；若角α终边过点(4,3)P a a -，则5254532cos sin 2=-+⋅=+αα； 若角α终边过点(4,3)P a a --，则254532cos sin 2-=-+-⋅=+αα； 若角α终边过点(4,3)P a a -，则5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα．备选题1．若(sin )sin 2f x x =，则0(sin30)f 的值等于（ ）A ．21 B ．－21 C ．－23 D ．23 1．D 0(sin 30)sin(230)sin 60f =⨯==．2．已知角θ的终边在直线y x =上，则sin θ= ． 2．12±直线y =与单位圆的交点为1)2、1()2-，则1sin 2θ=±．正弦函数和余弦函数的诱导公式【要点链接】1．会通过单位圆中的正弦线和余弦线得出角α与角α-，角α与角πα±， 角α与角απ-，角α与角απ+2的正弦值与余弦值之间的关系；2．会记住以上公式并灵活运用；3．诱导公式的一个统一的记法：奇变偶不变，符号看象限．介绍如下：比如对))(2sin(Z k k∈±απ，首先把α看作第一象限的角，当k 为奇数时， 名称sin 要变成cos ，当k 为偶数时，名称sin 不变；正负号要由απ±2k的象限而确定． 要熟练掌握上述方法，可以不必再去记忆那么多公式，而且可以很快很准确去做出． 【随堂练习】 一、选择题1．化简5cos()2πα+为（ ） A ．cos α B ．cos α- C ．sin α D ．sin α-2．已知1cos 2α=，且322παπ<<，则sin(2)πα-等于（ ）A．2- B．2 C ．12 D．2±3．下列各式不正确的是（ ）A ．0sin(180)sin αα+=- B ．cos()cos()αβαβ-+=-- C ．0sin(360)sin αα--=- D ．cos()cos()αβαβ--=+ 4．222sin 150sin 1352sin 210sin 225+++的值是（ ）A ．41 B ．43 C ．411 D ．49二、填空题5．若3cos()5απ+=，则7sin()2απ--=_______． 6．已知sin y x =的最小正周期为2π，请写出()sin 2f x x =的比2π小的一个周期为_______．7．设角356απ=-，则2232sin()sin()cos()21sin sin()cos ()παπαπααπαπα+--+=++--+_______．三、解答题8．已知sin()2cos(2)απαπ-=-，求sin()5cos(2)33sin()cos()22παπαππαα++---+的值．9．若2cos 3α=，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．答案1．D 5cos()cos()sin 22ππααα+=+=-．2．B 由1cos 2α=，且322παπ<<，则53απ=，则sin(2)sin 32ππα-==． 3．B cos()cos[()]cos()αβαβαβ-+=--=-，则选B ．4．A原式222111()(2()()22224=++⨯-+-=． 5．35- 3c o s ()c o s 5απα+=-=，则3cos 5α=-，则7sin()sin()22παπα--=- 3cos 5α==-．6．π sin y x =的最小正周期为2π，则sin(2)sin x x π+=，则()sin 2()f x x ππ+=+s i n (22)s i n 2x x f x π=+==，说明π是()sin 2f x x =的一个周期．7．3 35666παππ=-=-+，则1sin 2α=，cos α=，所求式222sin cos cos 1sin sin cos αααααα+==++- 8．解：由已知得sin 2cos αα-=，设角α的终边与单位圆的交点为(,)x y ，则2y x -=，则2yx=-．则原式5sin 5cos 573cos sin 353y y x x y x y xαααα-+-+-+====--+-+-+．9．解：2cos 3α=，α是第四象限角，则知角α的终边与单位圆的交点为2(,)(0)3m m <，那么222()13m +=，则3m =-，所以sin 3α=-．sin(2)sin(3)cos(3)sin sin(3)cos(3)cos()cos()cos cos cos()cos απαπαπαπαπαπαπαααπαα-+----+-------+=22sin sin cos 33342cos cos 293ααααα-+⨯-===--．备选题1．已知sin()4πα+=，则3sin()4πα-=___________．1．233sin()sin[()]sin()444πππαπαα-=-+=+=2．已知α为第三象限角，且31cos()25απ-=，则cos α=_________． 2．5- 331c o s ()c o s ()c o s ()s i n 2225παππααα-=-=--=-=，则1sin 5α=-，则可设α的终边上一点为(1,)y -，得222(1)5y -+=，又0y <，则y =-则cos α=同步测试题A 组一、选择题1．设α为第二象限角，且coscos22αα=-，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设3sin 5α=-，4cos 5α=，那么下列各点在角α终边上的是（ ） A ．(4,3)- B ．(4,3)- C ．(3,4)- D ．(3,4)-3．若θ是第三象限角，且02cos <θ，则2θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．角(02)ααπ<<的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为（ ）A ．4π B ．34π C ．74π D ．34π或74π5．已知角α的终边在函数||x y -=的图像上，则sin α的值为（ ）A ．－22 B ．22 C ．22或－22D ．216．设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin ,5(cos ππ，则α等于（ ）A ．5π B ．310π C ．32()10k k Z ππ+∈ D ．2()5k k Z ππ+∈二、填空题7．已知2()2k k Z παβπ+=+∈，cos 0β≠，则sin cos αβ= ． 8．cos y x =的最小正周期为 ．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，写出()f x 的一个周期 为_______．三、解答题10．判断函数()sin()f x x x π=+的奇偶性．11．若k ∈Z ，求])1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ-++++-k k k k 的值．12．已知第三象限的角α终边上一点()P m ，且m 42sin =α，求sin α的值．B 组一、选择题1．若θ为第二象限角，那么sin(sin )θ的值为（ ） A ．正值 B ．负值 C ．零 D ．不能确定 2．已知函数()sin 1f x a x x =++，满足(5)7f =，则)5(-f 的值为（ ）A ．5B ．－5C ．6D ．－63．设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin,5(cos ππ，则α等于（ ）A ．5π B ．310πC ．32()10k k Z ππ+∈ D ．2()5k k Z ππ+∈ 4．若α是第一象限角，则αααα2cos ,2cos,2sin ,2sin 中能确定为正值的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．2个以上二、填空题5．已知sin 2cos 53sin 5cos αααα-=-+，那么sin cos αα的值为 ．6．已知cos 23x a =-，x 是第二、三象限的角，则a 的取值范围_____________．三、解答题7．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合．（1）sin 2x ≥ （2）1sin 2x -<≤．8．已知角α的终边在直线3y x =-上，求αααcos sin sin 10+的值．答 案A 组1．Cα为第二象限角，则2α在一三象限，而cos cos 22αα=-，则cos 02α≤，则2α角属于第三象限． 2．A 角α终边过(4,3)-时，则34sin ,cos 55αα=-=，其它不满足，选A ． 3．B θ是第三象限角，则2θ是第二、四象限的角，又02cos <θ，则2θ是第二象限角．4．D 角(02)ααπ<<的正、余弦线的长度相等，则可为4π、34π、54π、74π，4π的正、余弦符号相同，54π的正、余弦符号相同，另两个是相异的．5．A 知角α的终边在第三或第四象限，值为负，只有A 满足． 6．D 知点P 在第一象限内，且5πθ=的终边上有一点的坐标为)5sin ,5(cosππ，则α角的终边与5πθ=的终边相同，则2()5k k Z παπ=+∈7．1 22k παπβ=+-，则sin sin(2)sin()cos 22k ππαπβββ=+-=-=．8．π c o s ()c o s x x π+=，则最小正周期为π．9．4 因为(2)()f x f x +=-，则(4)(2)f x f x +=-+，可得(4)()f x f x +=， 知4为()f x 的一个周期．10．解： ()sin()sin f x x x x x π=+=-，()sin()sin ()f x x x x x f x π-=--=-=，所以()f x 为偶函数．11．解：法一：若k 为偶数，则原式＝)cos )(sin (cos sin )cos()sin(cos )sin(αααααπαπαα---=-+-＝－1，若k 为奇数，则原式＝αααααααπαπcos sin )cos (sin )cos(sin )cos()sin(-=-+-＝－1． 法二：()()2k k k παπαπ-++=，[(1)][(1)]2(1)k k k παπαπ++++-=+，原式＝])1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ-+-+---k k k k ＝sin()cos()sin()[cos()]k k k k παπαπαπα-----＝－1．12．解：角α是第三象限的角，则0m <，射线OP方程为y x =， 它与单位圆221x y +=，则sin α=m 42sin =α=，则25m =，则m =sin 44α==-．B 组1．A θ为第二象限角，则0sin 12πθ<<<，则sin(sin )0θ>．2．B (5)sin5517f a =++=，则sin 51a =，那么(5)sin(5)51sin5515f a a -=--+=--+=-3．D 知点P 在第一象限内，且5πθ=的终边上有一点的坐标为)5sin,5(cosππ，则α角的终边与5πθ=的终边相同，则2()5k k Z παπ=+∈．4．Bα是第一象限角，则2α在一或三象限，2α的终边在x 轴的上方， 则sin 2α一定为正．5．2316-设角α的终边与单位圆的交点为(,)P x y ，则221x y +=， sin y α=，cos x α=，可得2535y x y x -=-+，则2535y x y x-=-⨯+，则2316y x =-，那么sin 23cos 16αα=-． 6．3(1,)2x 是第二、三象限的角，则1cos 0x -<<，则1230a -<-<，则312a <<． 7．解：（1）作单位圆如图，再作2y =与单位圆有两不同的交点， 这两点与圆心连线把圆分成了两部分，当角x 的终边落在如图的阴影部分（含边界）时，满足sin 2x ≥则满足条件的x的集合为0000{36045360135,x k x k k ⋅+≤≤⋅+∈（2）作单位圆如图，再作12y =-、y = 当角x 的终边落在如图的阴影部分（不含虚线边界）时，满足1sin 22x -<≤，则满足条件的x 的集合为0000000{360120360210,36030360x k x k k x k ⋅+≤<⋅+⋅-<≤⋅+或8．解：当角α的终边在第二象限时，取终边上一点(1,3)A -，则r OA ==， 则sin α=101cos -=α，那么0cos sin sin 10=+ααα． 当角α的终边在第四象限时，取终边上一点(1,3)B -，则r OB ==，则sin α=101cos =α，那么6cos sin sin 10-=+ααα．备选题1．下列等式中成立的是( )A ．00cos370cos(350)=-B ．cos(3)cos44πππ+=C ．000sin(236040)sin 40⨯-= D ．2519cos cos()66ππ=- 1．A 0000cos370cos(720350)cos(350)=-=-．2．若sin()sin()m παα++-=-，则sin(3)2sin(2)παπα++-=_______．2．32m -由sin()sin()m παα++-=-，得sin 2m α=， 则3sin(3)2sin(2)3sin 2m παπαα++-=-=-．3．已知sin α是方程25760x x --=的根，求2sin()sin(2)sin (3)sin()[2sin()sin()]αππαπαπαπαα--⋅-⋅--⋅++-的值．3．解：25760x x --=的两根为35-或2，则3sin 5α=-，22sin()sin(2)sin (3)sin (sin )sin sin()[2sin()sin()]sin (3sin )αππαπααααπαπαααα--⋅-⋅-⋅-⋅=-⋅++-⋅- 22sin 133()33525α==⨯-=．。