正弦函数、余弦函数的性质【学习目标】1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)．【要点梳理】要点一：周期函数的定义函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期. 要点诠释：1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质（1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()y x =-的单调递增区间时，应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相当于求sin y x =的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．要点三：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的性质． 函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R （2）值域：[],A A -（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．要点诠释：判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出．要点诠释：若x R ∉，则函数sin()y A x ωϕ=+和函数cos()y A x ωϕ=+不一定有对称轴和对称中心． 【典型例题】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域 例1．求函数22sin cos 1y x x =+-的定义域； 【答案】2222,33x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 为使函数有意义，需满足2sin 2x+cos x －1≥0，即2cos 2x ―cos x ―1≤0，解得1cos 12x -≤≤．画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示．∴定义域为2222,33x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． 【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．举一反三：【变式1】求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域 【解析】依题意得2sin x －1＞0，即1sin 2x >，∴52266k x k ππππ+<<+（k ∈Z ）， ∴函数的定义域为522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭． 例2．求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x （2）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； （3）cos 2cos 1x y x -=-．【答案】（1）[1，5]（2）[0，2]（3）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 （1）∵－1≤sin x ≤1，∴－2≤2sin x ≤2，∴－2≤－2sin x ≤2，∴1≤3－2sin x ≤5，∴函数的值域为[1，5]．（2）∵66x ππ-≤≤，∴20233x ππ≤+≤． ∴0sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭．∴02sin 223x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴0≤y ≤2．∴函数的值域为[0，2]．（3）∵cos 2cos 1111cos 1cos 11cos x x y x x x---===+---， 当cos x=－1时，min 13122y =+=，∴函数的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．举一反三：【变式1】 求y=cos 2x+4sin x ―2的值域． 【解析】y=cos 2x+4sin x ―2=―sin 2x+4sin x ―1 =―(sin x ―2)2+3． ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x=―1时，y min =―6；当sin x=1时，y max =2． ∴函数的值域为[－6，2]．类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例3．（2016 浙江温州期末）设函数()sin(2)3f x a x b π=++（1）若a ＞0，求f （x ）的单调递增区间； （2）当[0,]4x π∈时，f （x ）的值域为[1，3]，求a ，b 的值．【思路点拨】（1）由复合函数的单调性，解不等式222232k x k πππππ-≤+≤+可得答案；（2）由[0,]4x π∈，可得1sin(2)123x π≤+≤，结合题意可得03112a a b a b ⎧⎪>⎪+=⎨⎪⎪+=⎩或01132a ab a b ⎧⎪<⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，解方程组可得．【答案】（1）5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈；（2）41a b =⎧⎨=-⎩或45a b =-⎧⎨=⎩【解析】（1）∵a ＞0，由222232k x k πππππ-≤+≤+可得51212k x k ππππ-≤≤+，∴f （x ）的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈； （2）当[0,]4x π∈时，52336x πππ≤+≤，∴1sin(2)123x π≤+≤， ∵f （x ）的值域为[1，3]，∴03112a a b a b ⎧⎪>⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，或01132a ab a b ⎧⎪<⎪+=⎨⎪⎪+=⎩， 分别可解得41a b =⎧⎨=-⎩或45a b =-⎧⎨=⎩举一反三：【变式1】（2015春 河南期中）已知函数1sin()32y x π=- （1）求该函数的周期，并求函数在区间[0，π]上的值域； （2）求该函数在[－2π，2π]上的单调增区间． 【答案】（1）T=4π，1[22-；（2）单调递增区间为：[2,]3ππ--和5[,2]3ππ． 【解析】（1）由题意函数的周期2412T ππ==， ∵x ∈[0，π]，∴1[,]3263x πππ-∈-，∴11sin()[322x π-∈-， 即函数在区间[0，π]上的值域为1[2-； （2）原函数可化为1sin()23y x π=--，原函数的增区间即为1sin()23y x π=-的减区间，令13222232k x k πππππ+≤-≤+，解得5114433k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ， 令k =0，可得51133x ππ≤≤，令k =－1，可得733x ππ-≤≤-， ∵x ∈[－2π，2π]，∴函数的单调递增区间为：[2,]3ππ--和5[,2]3ππ． 类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性例4．判断下列函数的奇偶性：（1）5())2f x x π=+；（2）()f x =；【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为()f x x =，再按步骤去判断．（2）先求函数的定义域，然后判断．【解析】（1）函数定义域为R ，且5()22222f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然有()()f x f x -=恒成立．∴函数5()22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数．（2）由2sin x －1＞0，即1sin 2x >，得函数定义域为52,266k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ），此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．【总结升华】 判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证()f x -是否等于()f x -或()f x ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．举一反三：【变式】关于x 的函数)(x f =sin(x+ϕ)有以下命题： ①对任意的ϕ，)(x f 都是非奇非偶函数； ②不存在ϕ，使)(x f 既是奇函数，又是偶函数； ③存在ϕ，使)(x f 是奇函数； ④对任意的ϕ，)(x f 都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_____.因为当ϕ=_____时，该命题的结论不成立. 【思路点拨】当ϕ=2k π，k ∈Z 时，)(x f =sinx 是奇函数. 当ϕ=2(k+1)π，k ∈Z 时x x f sin )(-=仍是奇函数.当ϕ=2k π+2π，k ∈Z 时，)(x f =cosx ，当ϕ=2k π-2π，k ∈Z 时，)(x f =-cosx ，)(x f 都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论ϕ为何值都不能使)(x f 恒等于零.所以)(x f 不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.【解析】①，k π(k ∈Z )；或者①，2π+k π(k ∈Z )；或者④，2π+k π(k ∈Z )类型四：正弦函数、余弦函数的对称性例5．（2015春 湖南益阳月考）已知函数()2sin(2)4f x x π=-．（1）求函数的最值及相应的x 值集合； （2）求函数的单调区间；（3）求函数f （x ）的图象的对称轴与对称中心． 【思路点拨】（1）根据正弦函数的最值性质即可求函数的最值及相应的x 值集合； （2）根据三角函数的单调性即可求函数的单调区间；（3）根据三角函数的对称性即可求函数f （x ）的图象的对称轴与对称中心． 【解析】（1）当sin(2)14x π-=，即2242x k πππ-=+，k ∈Z ，即38x k ππ=+，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2； 故f （x ）的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为3{|,}8x x k k Z ππ=+∈； （2）由222242k x k πππππ-+≤-≤+，得388k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ． ∴函数f （x ）的单调递增区间为3[,]88k k ππππ-++，k ∈Z ．由3222242k x k πππππ+≤-≤+，得3788k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ． ∴函数f （x ）的单调递减区间为37[,]88k k ππππ++，k ∈Z ．（3）由242x k πππ-=+，得3182x k ππ=+，k ∈Z ．即函数f （x ）的图象的对称轴为3182x k ππ=+，k ∈Z ． 由24x k ππ-=，得182x k ππ=+，k ∈Z ，即对称中心为1(,0)82k ππ+，k ∈Z ．【总结升华】（1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值．（2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x 轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0．举一反三：【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】 【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心 （1）sin()4y x =+π；（2）cos(2)3y x =-π. 【解析】（1）令4t x π=+，则sin sin 4y x t π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭的对称轴方程是2t k ππ=+（k ∈Z ），即42x k πππ+=+（k ∈Z ），解得4x k ππ=+（k ∈Z ）．∴函数sin 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称轴方程是4x k ππ=+（k ∈Z ）．同理，对称中心的横坐标为4x k ππ+=，4x k ππ∴=-，即对称中心为,04k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭． （2）令23t x π=-，则cos 2cos 3y x t π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的对称轴方程是t k π=（k ∈Z ），即23x k ππ-=（k ∈Z ），解得26k x ππ=+（k ∈Z ）． ∴函数cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴方程是26k x ππ=+（k ∈Z ）． 同理，对称中心的横坐标为232x k πππ-=+，5212k x ππ∴=+，即对称中心为5,0212k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）．类型五：正弦函数、余弦函数的周期 例6．求下列函数的周期： （1）sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）cos 2y x =；（3）3sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （4）112sin cos 2326y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）①令3z x π=+，而sin(2)sin z z π+=，即(2)()f z f z π+=．(2)33f x f x πππ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．∴T=2π．②令z=2x ，则()cos 2cos cos(2)cos(22)cos[2()]f x x z z x x πππ===+=+=+， 即()()f x f x π+=，∴T=π． ③令23x z π=+，则4()3sin 3sin(2)3sin 23sin (4)2323x x f x z z f x ππππππ+⎛⎫⎛⎫==+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴T=4π④∵原式111112sin cos 2cos cos cos 22626262626x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴2412T ππ==． 举一反三：【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例2】【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）|sin |y x =； （2）sin ||y x =； （3）sin(2)3y x =-π.【答案】（1）是 T π= （2）不是 （3）22T ππ== 类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用 例7．已知函数12()log |sin |f x x =．（1）求其定义域和值域； （2）判断奇偶性；（3）判断周期性，若是周期函数，求周期； （4）写出单调区间．【思路点拨】在（3）中，可画出图象求周期，除了用周期函数的定义求周期外，作图也是一种基本的方法．在（4）中，可以将12()log |sin |f x x =看成是由12log y u =，u=|t|，t=sin x 复合而成．【解析】（1）由|sin |0x >，得sin 0x ≠，∴x ≠k π，k ∈Z ．∴函数的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}． ∵0|sin |1x <≤，∴12log |sin |0x ≥，∴函数的值域为{y|y ≥0}．（2）∵1122()log |sin()|log |sin |()f x x x f x -=-==，∴函数()f x 是偶函数．（3）∵1122()log |sin()|log |sin |()f x x x f x ππ+=+==，∴函数()f x 是周期函数，且周期是π．（可结合图象验证） （4）设t=|sin x|，当,2x k k πππ⎛⎤∈+⎥⎝⎦时，sin x ＞0，t=|sin x|为增函数；当,2x k k πππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，sin x ＜0，t=|sin x|为减函数． 又∵函数12log y t =为减函数，∴函数()f x 的单调增区间为,2k k πππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ；单调减区间为,2k k πππ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，k ∈Z ． 举一反三： 【变式】已知函数11cos |cos |22y x x =+． （1）画出函数的简图；（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； （3）指出这个函数的单调增区间．【解析】 （1）11cos |cos |22y x x =+ cos , 2,2()2230, 2,2()22x x k k k Z x k k k Z ππππππππ⎧⎡⎤∈-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪∈++∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩．函数图象如右图所示．（2）由图象知函数的周期是2π． （3）由图象知函数的单调区间为2,22k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 【总结升华】本题易犯的错误是求得周期为π，实际上通过图象可知，在一个区间长为2π的区间内函数值才发生周期性变化．。