矩阵 A 可记为 ~
A
~
计[算a机ij控] 制技术6章
模糊控制
技术
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3、模糊矩阵
①对于
A
~
[aij
]
和
B
~
[bij
]
，若有
cijma ij,b x ij] [a ij b ij
则称
C ~
[cij
]
为
A和
~
B
~
并，记为
CAB 。
~
~
~
②对于
A
~
[aij
]
和
则
A (x)表示元素x 属于模糊集合 Nhomakorabea~
A 的程度。
~
~
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技术
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1、模糊集合
隶属函数是模糊数学中最基本的概念，我们用隶属函数来
给出模糊集合：在论域U上的模糊集合 A ， 由隶属函数
A (x)
~
来表征，其值在[0,1]内连续取值。
~
A (x)
技术
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1、模糊集合
在人类的思维中，有的概念具有清晰的内涵和外延，如男 人、女人；
有许多模糊的概念，如大、小、冷、热，没有明确的内涵 和外延；
将前者叫做普通集合（或经典集合）；
后者称为模糊集合，用 A表示。 ~
如果把模糊集合的特征函数称为隶属函数，记做 A ( x) ，
~
~
则称 B 是 A 补集， 记做 B A
~
~
~
~
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2、模糊集合的运算
（3）包含：xU 有 A(x)B(x)
~
~
则称 A 包含 B， 记做 A B
~
~
~
~
（4）并集：xU 有
C ( x ) mA ( a x )x B ,( x ){ } A ( x ) B ( x )
模糊子集合。
当给出直积空间X×Y中的一个模糊集 R的隶属函数 R(x, y)
~
~
，集合X到集合Y的模糊关系 R 也就确定了。 ~
模糊关系同样具有自返性、对称性、传递性等关系。
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3、模糊矩阵
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当用矩阵表示模糊关系时，矩阵中的aij表示集合X中的第i个 元素和集合Y中的第j个元素隶属于模糊关系 R 的程度，
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1、模糊集合
例3、对于身高1.6米以下的人均不能称为“高”，隶属度为0；
而对于身高1.8米以上的人均称之为“高”，隶属度为1；
而对于身高1.65米、和1 .70米的人属于“高”的隶属度， 为0.25和0.50。则有：
0，
甲队的1号队员和乙队的a号队员建立对打关系记为1Ra ； 甲队的2号队员和乙队的b号队员建立对打关系记为2Rb ； 甲队的3号队员和乙队的c号队员建立对打关系记为3Rc ； 则有：
甲 乙 { 1 , a ) 1 ( , b ) ( 1 , c ) ( ( 2 , a , ) 2 , b ( ) 2 , c ) ( ( 3 , a , ) 3 , b ) ( 3 , c ) (
的大小反映了元素x对于模糊集合
A 的隶属程度：
~
~
0A(x)1
~
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1、模糊集合
例1，我们研究人这个论域的集合，某人是否属于老年人集合 的隶属函数，
老年人 (x)＝1＋(x－ 1550)2
其中x>50，
计算得： 老年(人 55 )＝ 0.5
~
记为 R(x, y) 。
~
其中 R(x, y) 在闭区间[0,1]中取值，我们把元素在闭区间
~
[0,1]中取值的矩阵称为模糊矩阵。
模糊矩阵的一般形式为：
a11 a12 ... a1n
A
a
21
a 22
...
a
2
n
~ ...
...
a
m1
am2
...
a mn
其中： 0≤ aij ≤1， 1≤ i≤m， 1≤ j≤n，
当h<=1.6m
高(h)＝ (h-160)/20，当1.6<=h<=1.8 ~
1，
当h>=1.8m
也可以表示为：
高 ( h ) ＝ { 1 . 5 , 0 ) ( ( 1 . 6 ,, 0 ) ( 1 0 . 6 ,, 0 . 2 ) 5 ( 1 . 7 , 5 , 0 . 5 ) 0 ( 1 . 8 , , 1 ) ( 2 . 0 , , 1 )
老年(人 60 )＝ 0.8
老年(人 70 )＝ 0.94
这表明55岁的人属于“老年人”集合的隶属程度为0.5， 只能是“半老”；
而70岁的人属于“老年人”集合的隶属程度为0.94。
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1、模糊集合
例2 “张三很幸福”， A(x)＝0.8 ~ “张三是幸福的”， A(x)＝0.5 ~ “张三不太幸福”， A(x)＝0.3 ~
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3、模糊关系
（1）关系 客观世界的各事物之间普遍存在着联系，描写事物之间
联系的数学模型之一就是关系。 关系常用符号R表示。
①关系的概念 若R为由集合X到集合Y的普通关系，则对任意 xX,yY
只能有以下两种情况， * x与y有某种关系，即xR y * x与y无某种关系，即xR y
模糊控制理论以模糊数学为基础，用语言规则表示方法和 先进的计算机技术，运用模糊推理进行决策的一种高级控制 策略。
模糊控制技术是由模糊数学、计算机科学、人工智能、知 识工程等多学科相互渗透，理论性较强的科学技术。
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模糊控制技术
~
~
~
~
~
则称 C 是 A 与 B 的并集， 记做
~
~
~
CAB
~
~
~
（5）交集：xU 有
C ( x ) mA ( i x )n B ,( x ) { } A ( x ) B ( x )
~
~
~
~
~
则称 C 是 A 与 B 的交集， 记做
~
~
~
CAB
~
~
~
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对称性关系 一个X中关系R， x, yX，若有xRy，则 必有yRx，即满足这一关系的的两个元素可以对调，则称R 具有对称性关系； 如兄弟关系和朋友关系具有对称性，但父子关系不具有对称性。
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3、模糊关系
③几个常见的关系
传递性关系 一个X中关系R， x,y,zX，
B
~
[bij
]
，若有
cijma iij,n b ij][a ij b ij
则称
C ~
[cij
]
为
A和
~
B
~
并，记为
CAB。
~
~
~
③对于
A
~
[aij
]
则
[1 aij ]
为
A 的补矩阵，记为
~
A
~
。
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3、模糊矩阵
④若 C AB（表示两个模糊矩阵乘法），则 C 中的元素
~
~~
0.0 0.3 0.6 0.3
0 .50 .30 .40 .3
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4、模糊逻辑
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建立在取“真”（或1）和取“假”（或0）二值基础上的 数理逻辑，已成为计算机科学的基础理论。
然而在研究复杂的大系统时，二值逻辑越来越显得无能为 力了。复杂系统不仅结构和功能复杂，涉及大量的参数和变 量，而且具有模糊的特点。
特点 1、不需要精确的数学模型； 2、容易学习； 3、使用方便； 4、适应性强； 5、可靠性高； 6、性能优良。
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模糊控制技术
应用领域 1、航天航空； 2、工业过程控制； 3、家用电器； 4、汽车和交通运输； 5、其他。
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X Y { x ,y ( ) |x X ,y Y }
显然，R集是X×Y的直积集的一个子集，即， RXY
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3、模糊关系
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（1）关系 ②直积集
例如，有两个集合甲和乙，其中
甲＝{x|x为甲班乒乓球队队员} 乙＝{y|y为乙班乒乓队球队员} 若R表示两者之间对抗赛关系，
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