A
zˆ1/0
z0
z1
z1
A
Aˆ[1]
z1
z0
zˆ1/0


z1,
||
z0 z0

||

||
z0 z0
||

z1, z0
|| z0 ||2
z0

E(z1z0 ) E(z02 )
z0
zˆ1/0
zˆ1/0

E[( A E(
w1)( A w0 A2 ) E(w02 )
)]
z0

2A 2A 2
z0
z0
z1

z1

zˆ1/0

z1

2A 2A 2
z0
A
z1
z1
Aˆ[1]


A,
||
z1 z1
||

||
z1 z1
||
A, z1|| z1||2z1E( Az1) E(z12 )
z1
A
Aˆ[1]
z1
z0
Aˆ[1] Aˆ[0] Aˆ[1]

E( Az1) E(z12 )
z1
K[1]
E( Az1) E(z12 )

2A 22A 2
Aˆ[1] Aˆ[0] K[1](z1 zˆ1/0 )
按这个过程继续求 Aˆ[2]
Aˆ[2] Aˆ[1] K[2](z2 zˆ2/1)
2
Aˆ[0]
z0
A
Aˆ[1]
z1
Aˆ[1]
推导过程总结：
Aˆ[1] Aˆ[0] Aˆ[1]
Aˆ[0]

E( Az0 ) E(z02 )
z0

2A 2A 2
z0
zˆ1/0

E(z1z0 ) E(z02 )
z0

2A 2A 2
z0
z1 z1 zˆ1/0
Aˆ[1]
递推线性最小均方估计
算法推导 算法总结
1. 算法推导
考虑高斯白噪声中随机变量的估计问题，
zi A wi i 0,1,..., N 1
其中 wi是均值为零、方差为2的高斯白噪声, A ~ N (A,2A) ， 且 wi与A统计独立。
这是前面已经分析过的例题，如果 A 0 ，则根据N个
Aˆ[1]

Aˆ[0]
E( Az1) E(z12 )
z1

Aˆ[0]
K [1]( z1

zˆ1/0 )
K[1]

E( Az1) E(z12 )

E E
A(z1

2A 2A 2
z0 )


z1

2A 2A 2
z0
2





2A 22A

2
这一估计可以化为 Aˆ[N ] Aˆ[N 1] K[N ](zN Aˆ[N 1])
K[N ]

Mse( Aˆ[N 1]) Mse( Aˆ[N 1]) 2
Mse( Aˆ[N ]) (1 K[N ])Mse( Aˆ[N 1])
（详细推导留作习题）
下面用随机矢量空间的方法来讨论递推算法。
z0
z0
z1
Aˆ[0]
Aˆ[1]
z0
z1
Aˆ[1]

2A 2A 2
z0
Aˆ[1] Aˆ[0] Aˆ[1]
如何求得 Aˆ[1] ？
（1）根据 z0 求 z1 的估计 zˆ1/0 ，得到的误差矢量 z1 z1 zˆ1/0与 z0 正交。 （2）将A投影到 z1 z1 zˆ1/0 上
观测得到的A的估计与均方误差为
Aˆ[N
1]
2A
2A

2 N
z
Mse( Aˆ[N
1])

2A2 N 2A 2
如果有一个新的观测数据 zN 可用，
则估计可以更新为
Aˆ[N ]

2A
2A 2
N 1
1 N 1
N i0
zi
Mse( Aˆ[N
])

(N
2A2 1)2A
假定 Aˆ[1] 是基于前两个观测数据 z0, z1 估计，
它是A在观测空间上的投影。
Aˆ[1]可以看作为 Aˆ[0] 及一个与
Aˆ[0]
Aˆ[0]
正交的矢量和。


A,
||
z0 z0
||

||
z0 z0
||
A
A
Aˆ[1]

E( Az0 ) E(z02 )
z0

E[ A( A w0 )] E( A2 ) E(w02 )