dx
v*
(6)
dx2
d v*
忽略剪切应变 z* dx z*
这里，“*”表示“虚设”，δ为一阶变分算子， “δ”与“d”的运算规律相同，意义类似，δ亦可看成是 “微小”。
3、虚应变能(内力虚功)
1）、轴向拉压 实际的力态σx；虚设的位移态δu*，所引起
的虚应变为
x*
d(u*)
dx
U* lxAx*dx 0l d(dxu*)EAdduxdx (7)
(1)
虚功并非不存在，只是强调功的两要素独立无 关。
4、虚应变能(内力虚功、虚变形能、虚变形功)。
U* *dV V
(2)
式中：
σ：力F所引起的应力(力态)；
δ ε*：虚位移δu* 所引起的虚应变(虚设的位 移态)。
二、虚位移原理及其证明
虚位移原理的叙述：弹性结构处于平衡状 态的必要与充分条件是对于任意微小的虚位移， 外力所作的虚功δW*等于虚变形功δU* (虚应变 能，内力虚功)。
元所组成的弹性结构。
因上式即为平衡方程（4）式，故充分性得证。
关于虚位移原理的讨论：
1、仍然是一个(虚功)体系，两个状态；
2、力态静力可能的证明，建立在位移态(虚设) 的几何可能上；
3、若力态转换成位移表达式，则要求力态变 形协调；
4、力态和虚设的位移态一定是独立无关。
2-3 虚应变能与外力虚功
研究对象：实际的力态。
虚 设：位移态(满足变形协调条件)。
于是，虚功原理可表述为：
体系平衡
δW*=δU*
(3)
其中Δ：在虚设的任一几何可能的位移态上。
证明：
以最简单的杆件结构为例，如图：
杆端力：结点对单元的作用力。
结点力：杆端对结点的作用力称为 结点力。
杆端力和结点力是作用力和反作用 力。
对结点1，由平衡条件
(v*)*y]E(d2v
dx2
y)dV
V(d(dxx*)
r)Gdx
dx
rdV
l
[
d
(u*)]EAdudx
0 dx
dx
l d2 0[dx2
(v*)E(ddx2v2
y2dAdx (d(x*)Gdx
A
l dx dx
r2dAdx
A
l
[
d
(u*)]EAdudx
0 dx
dx
l
[
d2
0 dx2
(v*)]EIz
(d2vdx dx2
l d(dxx)GJp
dx dx
dx
与前述单独变形的结果一致。
二、外力虚功
1、集中荷载情况
实际的力态Pi
虚设的位移态
* i
n
则 W *
* i
Pi
(10)
i1
2、分布荷载情况 实际的力态q(x) 虚设的位移态* (x)
3、既有1又有2则的情W况* ，l则(δ*W) *q为dx1与2之(和11。)
2）、弯曲
实际的力态Mz；虚设的位移态
v*、z*,且z*
d(v*)
dx
则
U*lM z(z*)dx0ld2d(x2v*)EId dx2v2dx (8)
对于三维应力状态。设实际的力态为：
＝ xyzxyyzzx T
虚设的位移态为：
*
**** * * x y z x y y z z x
5、了解功能原理和力学上的平衡原理(或变形协调原理)的 等价性。
二、先修有关概念
1、静力加载(比例加载)。 2、应变能：弹性体因受外力作用变形而具有恢复原状 态的能力，即具有做功的能力，又称为形变势能。
3、功能方程(前提：①静力加载；②无耗散功δQ=0)：在 微小的δt 内，荷载在结构位移上所作的功全部转变为应变 能：δW=δU。
一、虚应变能 利用虚位移原理于具体问题时，必须 列出虚应变能δU*和各种荷载的外虚功δW*， 本节以平面杆系为例，具体介绍虚位移、 虚应变、虚应变能、外力虚功的概念及表 达式。
1、虚位移 u *
*
v*
* z
2、虚应变
d u*
(5)
*
* x
* z
d
2
4、总势能：结构的形变势能+荷载势能
Π=U+V
2-2 虚位移原理
一、几个概念
1、虚位移：为约束所允许的，在平衡附近的， 可任意虚设的微小位移。所谓虚，并非指不存在， 而是指与实际的力态独立无关。
2、理想约束：实际力态的约束力在虚设的位移 态上所做的功恒等于零的那种约束。
3、虚功 δW*=F ·δu*
计算结构力学第二 章演示文稿
2-1 概述:学习功能原理的目的
一、基本知识
1、静力法推导桁式单元的单元刚度矩阵已较为麻烦，复杂 单元就更为困难只能求助于功能原理。
2、静力法推导结构刚度矩阵也很困难，由功能原理可推导 出组装结构刚度矩阵的直接刚度法。
3、处理单元荷载。 4、由于实际问题的复杂性，用静力法往往较为困难，求助 于功能原理可以求得各种问题的精确解或近似解。
(4)式的平衡方程成立
W* U*
必要性得证
证②充分性：W* U*体系平衡 注意:虽然是P2F21F23)u殊2*情0况进行的证明，
又 u1*、u2*可任意假设，且不全为零，故 但 力要 可状上 推态式 广及成到由立其若，它干必须 个的有 受单
P1F12 0 P2F21F23 0
则虚应变能为:
U*V({x*})T{}dv
(9)
对于仅考虑拉压、弯曲的杆件，由小变形假设，
故可分开表示为：
U* V( x* )总x总dV
V( x* )轴(x)轴dV V( x* )弯(x)弯dV V( y* )扭扭dV
l
[
d
(u*)]EAdudx
0 dx
dx
d2 V[dx2
ΣX=0: P1-F12=0
(4)
对结点2，由平衡条件
ΣX=0: P2-F21-F23=0
P 1 1 2 2
E A 1 , 1
,E A 2
2
3
u 1*
u
* 2
P 1 1 ’ F 1 2
F 1 21 ’
2 ’ F 2 1
P 2 2 ’ F 2 1 F 2 3
F 2 32 ’
外力虚功为：
W *P 1 u1 *P 2 u2 *
式中：
δ——表示微小，* ——表示虚设。 虚应变能为：
U * 2 N *dx 3 N *dx
1
2
2 Ndu* 3 Ndu*
1
2
F21 u2* (F12 ) u1* 0 (F23 ) u2*
F12 u1* F21 u2* F23 u2*
证①必要性：体系平衡W* U* W* U* P1u1* P2u2* F12u1* F21u2* F23u2* (P1 F12)u1* (P2 F21 F23)u2*