a
a
a
n
证:
左端
lim [ f
0 i1
( i )
g( i )]xi
n
n
lim
0 i1
f
( i )xi
lim
0 i1
g( i )xi
=
右端
( k 为常数)
©
证: 当 a c b时,
a
因在
上可积 ,
cb
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是
f ( i )xi f ( i )xi f ( i )xi
©
定积分的几何意义:
曲边梯形面积
y
A1
a
A2
曲边梯形面积的负值
A3
A5
A4
bx
b
a f (x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和
©
可积的充分条件: 定理1. 定理2.
例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为
取
则
f
(i )xi
i2xi
i2 n3
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 取近似. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [xi1 , xi ]
y
作以[xi1 , xi ] 为底 , f (i )
为高的小矩形, 并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
o a x1
©
在区间
i
x xi1xi b
积分上限
[a , b] 称为积分区间
b
n
a
f
( x) dx
lim
0 i1
f
(i ) xi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分
变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
a f (x) dx a f (t) d t a f (u) d u
1
n1
sin
k
1
sin x dx
n k0 n n 0
0 2
nn
或
I
lim
n1
sin(
k)
1
1
sin
x dx
n k 0
nn 0
0 12
nn
©
(n1) x
n
n1 1 x
n
三、定积分的性质 (设所列定积分都存在)
规定
a
a f (x)dx 0
性质 1.
b
b
b
[ f (x) g(x)]dx f (x) dx g(x) dx
©
二、定积分定义 ( P143 )
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
第五章
定积分
积分学 不定积分 定积分
©
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
©
一、定积分问题举例 矩形面积 梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
©
y f (x)
A?
解决步骤 :
1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
Ai f (i )xi (xi xi xi1 )
xi1 xi
i
©
3) 求和.
n
n
A Ai f (i )xi
i1
i1
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
n
A
lim
0
i1
Ai
n
lim
0 i1
f
(i
)xi
y o a x1 xi1 xi
i
©
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度
©
且只有有限个间断点
(证明略)
y
y x2
o
i 1x
n
n
i1f(i源自)xi1 n3n
i2
i1
1 n3
1 6
n(n
1)(2n
1)
1 (1 1)(2 1) 6n n
1 0
x2
dx
lim
0
n
i 1
i
2xi
y
y x2
lim
n
1 3
©
o
i 1x
n
例2 1. 用定积分表示下述极限 :
解:
I
lim
是单调增函数，当 x 0 时，有
f x f 0 0, 则ex x.
依性质5，可知
1e xdx.
1
xdx
0
0
©
例5+. 试证:
证:
设
f (x)
sin x
x
,
则在
(0,
2
)
上,有
f
(x)
x cos
x sin x2
x
cos x x2
(x
tan
x)
0
f
(
2
)
f
(x)
f
(0 )
即
2 f (x) 1,
c
b
a f (x)dx c f (x)dx
©
b
4. dx b a a
5. 若在 [a , b] 上
则
n
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
©
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
[a, b]
[a, c]
[c, b]
令 0
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
©
当 a , b , c 的相对位置任意时,
例如
a bc,
则有
ab
c
c
b
c
a f (x)dx a f (x)dx b f (x)dx
b
c
c
a f (x)dx a f (x)dx b f (x)dx
表示的是
x轴, x 0, x 1 与曲线 y 1 x2
所围成的图形的面积，也就是单位圆在第一象限部分
的面积，即，由此可得
1 1 x2 dx
0
4
©
例4. 比较积分值
1e x dx和
1
xdx
的大小.
0
0
解 令 f x ex x, f ' x ex 1 在 0,1 上有 f 'x 0, 则 f x
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
6. 设 M max f (x), m min f (x) , 则
[a, b]
[a, b]
(a b)
©
例3 . 利用定积分的几何意义求
1 1 x2 dx. 0
解 从几何上看，定积分 1 1 x2 dx. 0
且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: 1) 分割.
n 个小段
将它分成 在每个小段上物体经
过的路程为
2) 取近似.
得
si v(i )ti (i 1, 2,, n)
©
3) 求和.
4) 取极限 .
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割,取近似,求和,取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
x
(0,
2
)
故
2 0
2
dx
2 f (x) dx
0
2 1dx
0
即
1
2
sin
x
dx
0x
2
©
7. 积分中值定理
则至少存在一点
使
b
a f
( x) dx
f
( )(b a)