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可以由一个已知的群来构造出一个新的群。 定理15.5 设<G，*>是一个群，aG， 构 造映射a：G→G，使对 xG， a（x）=a*x ，令H={a| aG}，则对于函 数的复合运算“”， <H，>是群。 (证明作为练习）
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而n阶非奇异矩阵乘群<Mn ，×> 、 n次对
称群<Sn，>等都不是交换群。
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定理15.9
设<G ， * >是一个群，则<G ， * > 为 交换群的充分必 要条件是：对a，bG，有(a*b)² ＝a² *b² 证明 “” 对a，bG，由于运算“*”是可交换的，所以 有： (a*b)² ＝(a*b)*(a*b)＝a*(b*a)*b ＝a*(a*b)*b＝(a*a)*(b*b)＝a² 。 *b² “” 对a，bG，若有(a*b)² ＝a² ，则： *b² (a*b)*(a*b)＝(a*a)*(b*b)，
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该定理是群的另一 如果<G,*>是半群，并且对 种等价定义形式
定理15.4 1) 群 G 中 每 个 元 素 都 是 可 消 去 的 ， 即 如 果 a*b=a*c，则必有b=c。(运算满足消去律) 2) 群G中除幺元e外无其它幂等元； 3) 阶大于1的群G不可能有零元； 4) 群G中的任意两个元素a, b，都有 (a*b)-1＝b-1*a-1。 5) 群G的运算表中任意一行(列)都没有两个相同 的元素（重复元素）；
冯伟森
Email：fws365@ 2013年7月5日星期五
主要内容
一个非常重要的代数系统——群。 主要从以下几个方面来介绍： 1) 群的概念和基本性质。 2) 群的子群和性质。 3) 交换群（Abel群） 4) 循环群
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群
定理15.3 a，bG，都存在x，yG 使x*a=b，a*y=b，则 <G,*>是群。群中元素的数目称为群的阶。 证明： 设 aG，方程 x*a=a 的解为e1，
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2) 幺 元 存 在 ： 由 于 SΦ ， 所 以 有 aS ， 由 对 a,bS,有a*b-¹S,取a＝b,有eG＝a*a-¹S， 3) 逆元存在：对a,bS，有a*b-1S， 对bS，由eGS，有b-¹＝eG*b-¹S； 4) 封闭性：对a,bS，由3)知：b-¹S，由条 为什么?该推论 件知：a*(b-¹)-¹S，即a*bS. 的证明作为练习 由1)、2)、3)、4)知:<S,*>是<G,*>的子群。 推论：当<G,*>是有限群时，对非空子集S，如对 a,bS， 有a*bS，则<S,*>是<G,*>的子群。 （即只需判断在S中运算是否封闭即可）
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例15-2.3
设<G，*>是一个群，H1，H2是G的两个子群。证明 H＝H1∩H2是G的子群。 证明 1)、非空性和幺元存在：由于H1 ，H2 是G的两个子 群，所以有：eH1，eH2，即有eH1∩H2； 2)、封闭性：对a，bH，有a，bH1∩H2， 即a，bH1，a，bH2， 由于H1，H2都是G的子群，所以有： a*bH1，a*bH2，即有：a*bH1∩H2 3)、逆元存在：对aH，有aH1∩H2 ，即aH1 ，aH2 ， 由于H1，H2都是G的子群，所以有： a-1H1，a-1H2，即有：a-1H1∩H2。 由1)、2)、3)知：<H，*>是<G，*>的一个子群。
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交换群
定义15.3 若群<G ， * >中的运算“*”是可交换的 运算，则称该群<G，*>是一个交换群（或阿贝 尔(Abel)群）。
例15-3.1
整数加群<Z，+>，实数加群<R，+>，有理
数加群<Q，+>，剩余类乘群<Z17-{[0]}，>、
实数乘群<R-{0}，×> 都是交换群。
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定理15.8 设<G，*>是一个群，S是G的一个非 空子集，则<S，*> 是<G，*>的子群的充要条 件是： 对a，bS，有a*b-1S。 证明 “”设S是G的子群，对a，b S，由群 的定义知，b-1S，即有a*b-1S。 所以必要性成立；
“”由子群的定义知，需证明如下四点： 1) S是非空的子集；
封闭的；
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由S是G的子集可得结合律也成立； 由于 e=a0S ，所以S中有幺元； 又∵an S有逆元a-n使an*a-n=e
∴综上所述，<S，*>是<G，*>的子群。
特别：由群的一个元素a生成的子群记为(a)。 如：在<Z，+>中，2的生成子群（2）是由全体偶 数关于加法构成的群；而1生成的子群（1）正 好是Z本身。
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<Zk-{[0]} ，>是不是群呢？不一定！ Z4-{[0]}={[1]，[2]，[3]}， 可以证明：当k 而[2][2]=[0] Z4-{[0]} 是素数时， ∴ <Z4-{[0]}，>不是群。 <Zk-{[0]} ，> 而Z5-{[0]}={[1]，[2]，[3]，[4]} 一定是群。 其运算表如右图， [1] [2] 运算是封闭的，可结合的； [1] [1] [2] [1]是幺元，[1]、[4]的逆元 [2] [2] [4] 是自身，[2]、[3]互为逆元；[3] [3] [1] 因此<Z5-{[0]} ，>是群。 [4] [4] [3]
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3)、逆元存在：对aC，有： 对xG，a*x＝x*a ∵CG，∴aG，即有：a-1G，有： a-1*(a*x)*a-1＝a-1*(x*a)*a-1， 即有：x*a-1＝a-1*x，所以a-1C。 由1)、2)、3)知:<C,*>是<G,*>的一个子群。
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子群
定义15.2 设<G，*>是一个群，S是G的一个非空 子集，若S也是群，则称<S，*>是<G，*>的一
个子群。
一般来说，对任意的群<G，*>，都有两个
子群<{e}，*>，<G，*>，我们称此两个子群为
该群的平凡子群,而若有子群<S,*>,且S{e}和 SG，则称<S，*>为<G，*>的真子群。
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另外，由群中的一个元素也可生成一个子群。 定义 a-k=（ak）-1 定理15.6 设<G，*>是一个群，对任意的a∈G， 令 S＝{an|n∈Z，Z是整数}， 则<S，*>是<G，*>的子群。 证明：因为a∈S，所以显然S是G的非空子集。 对任意的an，am∈S，则an*am＝an+m ∈S G ， 由n,m∈Z，有n+m∈Z，所以an+m∈S，即运算是
201>是一个群，H1 ，H2 ，…，Hn 是G的n个子群，则有H＝H1∩H2∩…∩Hn 是G的子群。
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例15-2.4
设Zk表示整数集Z上的模k剩余类集合，即 Zk={[0]，[1]，[2]，…，[k-1]} 在Zk上定义运算和如下： [i][j]=[t]（i+j）t（mod k） [i][j]=[t]ijt（mod k） <Zk ，>是群（剩余类加群）。[0]是的幺元， 每元[i]的逆元是[k-i]。 <Zk ，>不是群，因为虽然它满足封闭性和可结 合性，且[1]是它的幺元，但是[0]无逆元， 所以它仅仅是一个含幺半群。
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例15-2.1
设<G，*>是一个群，令： C＝{a|aG且对xG，有：a*x＝x*a} 证明<C，*>是<G，*>的一个子群。 证明1)、非空性：对xG，由于幺元eG存在， 所以有e*x＝x*e＝x，即eC，所以C是非空的； 2)、封闭性：对a，bC，则有：对xG a*x＝x*a， b*x＝x*b， ∴(a*b)*x＝a*(b*x)＝a*(x*b) ＝(a*x)*b＝(x*a)*b＝x*(a*b)， 即：a*bC；
∵ 对tG，方程 a*y=t 有解y0， ∴ e1*t= e1*（a*y0）=（e1*a）*y0 =a*y0=t 即对tG，必有e1*t=t， e1是G中的左幺元。 也可以证明G中有右幺元e2，所以G中有幺元e= e1 = e2 。 同理，对bG，方程x*b=e有解x0，这个x0是b的左逆 此定理说明:在群的定义中幺元及逆元的条件可用方程有解 来代替。另外，群的定义中的幺元条件可用存在左幺元 元，方程b*y=e的解是b的右逆元，且左右逆元相等，从而 （右幺元）的条件代替，逆元的条件可用存在左逆元（右 b有逆元。所以，<G,*>是群。 逆元）的条件代替，
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例15-2.2
设<Z，+>是一个整数加群，令： H＝{nk|kZ且n是一个取定的自然数}， 证明：<H,+>是<Z,+>的一个子群。 证明 1)、非空性：显然； 2)、封闭性： 对a，bH，有a＝nk1，b＝nk2 (k1，k2Z)， a+b＝nk1+nk2＝n(k1+k2)H (k1+k2Z)； 3)、逆元存在：对aH，有a＝nk1 (k1Z)， 则a-¹ ＝-a＝-nk1＝n(-k1)H (-k1Z)。 由1),2),3)知<H，+>是<Z，+>的一个子群。