自主招生模拟试题--04说明：第1--4题每题15分,第5--6题每题20分,试卷总分为100分. 1.求最小的正实数k ,使得111()9ab bc ca k a b c+++++≥对所有的正实数,,a b c 都成立.2.如图,已知O 分别与等边三角形ABC 的三边,,AB BC CA 相切于点,,D E F ,设劣弧DF 上的点P 到三边,,AB BC CA 的距离依次为123,,d d d ,求证:132d d d +=.3.设定义在[1,1]-上的函数221()||33f x x bx c =-++的最大值为M ,求M 的最小值.4.如图,O 是边长为1的正六边形ABCDEF 的中心,一条路径是指从点O 出发,沿着线段又回到点O ,求长度为2013的路径条数.5.已知非直角三角形ABC 的最小边长为5,且tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++,其中符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数,求ABC ∆的面积？6.已知函数()bf x ax c x=++(0)a >的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. (1)将,b c 用a 表示出来；(2)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围； (3)求证:对所有正整数n ,都有1111ln(1)232(1)n n n n ++++>+++ .OFABCEDd 1d 3d 2F DOE ABCP自主招生模拟试题答题纸1. 2.d 1d 3d 2FDOEABCP4.OFA B CE D参考答案1.求最小的正实数k ,使得111()9ab bc ca k a b c+++++≥对所有的正实数,,a b c 都成立. 解:首先令1a b c ===,则有2k ≥. 其次,证明:1112()9ab bc ca a b c+++++≥对所有的正实数,,a b c 都成立. 由于3111133ab ab a b a b++≥⋅⋅⋅=,同理可得:113bc b c ++≥,113ca c a ++≥.以上三式相加即得:1112()9ab bc ca a b c+++++≥. 综上可知,所求k 的最小值为2.2.如图,已知O 分别与等边三角形ABC 的三边,,AB BC CA 相切于点,,D E F ,设劣弧DF 上的点P 到三边,,AB BC CA 的距离依次为123,,d d d ,求证:132d d d +=.证明:如图,以O 为原点,OA 所在直线为y 轴建立坐标系,不妨设O 的半径为1,则点P 坐标为(cos ,sin )θθ(30150)θ︒≤≤︒,则由题意可得:直线AC 的方程为:cos30cos3010x y ︒+︒-=； 直线AB 的方程为:cos150cos15010x y ︒+︒-=； 直线BC 的方程为:01=+y .由点到直线的距离公式可得:13|cos cos30sin cos301||cos cos150sin cos1501|d d θθθθ+=︒+︒-+︒+︒-222sin (15)2sin (75)2[sin(15)sin(75)]2222θθθθ=-︒+-︒=-︒--︒2sin 12cos 2sin )2cos 2)(sin15sin 15(cos 2d =+=+=+︒-︒=θθθθθ.故,132d d d +=成立.3.设定义在[1,1]-上的函数221()||33f x x bx c =-++的最大值为M ,求M 的最小值. 解:由题意可知对任意的[1,1]x ∈-都有()f x M ≤,则: 21(1)|1|f b c M -=--+≤,1(0)||f c M =≤,21(1)|1|f b c M -=-++≤.y xd 1d 3d 2F DOEABCP故4(1)2(0)(1)M f f f ≥-++21121|1|2|||1|33333b c c b c =--+++-++21121|121|233333b c c b c ≥--+-⋅-++=. 即,12M ≥.事实上,当30,2b c ==时,21()||2f x x =-+在[1,1]-上的最大值为12.所以,实数M 的最小值为12. 4.如图,O 是边长为1的正六边形ABCDEF 的中心,一条路径是指从点O 出发,沿着线段又回到点O ,求长度为2013的路径条数. 解:由题意设从点O 出发沿着线段又回到点O ,且长度为n 的路径条数为n a ,从点A 出发沿着线段到点O ,且长度为n 的路径条数为n b ,则有11162n n n n n a b b a b ---=⎧⎨=+⎩1226n n n a a a --⇒=+.又由于6,021==a a ,故可求得1((77)(17)(77)(17))14n n n a =-⋅+++⋅-. 从而可得长度为2013的路径条数2013201320131((77)(17)(77)(17))14a =-⋅+++⋅-. 5.已知非直角三角形ABC 的最小边长为5,且tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++,其中符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数,求ABC ∆的面积？解:由题意知对所有实数x ,都有[]x x ≤,故tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≥++.结合题目条件可知tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++=++,其中tan ,tan ,tan A B C 均为整数.不妨设tan ,tan ,tan A x B y C z ===(,,x y z 均为非零整数,且x y z ≤≤),则由tan tan()C A B =-+可得xyz x y z =++,而,,A B C 中最多一个钝角,即,y z 必为正整数,03xyz x y z z <=++≤,故3xy ≤,从而1,1x y ==,或1,2x y ==,或1,3x y ==.当1,1x y ==时,由xyz x y z =++知无解； 当1,2x y ==时,由xyz x y z =++知3z =；当1,3x y ==时,由xyz x y z =++知2z =,这与x y z ≤≤不符.故,在ABC ∆中,tan 1,tan 2,tan 3A B C ===,且5BC =.过点B 作高BD ,则在Rt BCD ∆中可求得DBACOFA BCE D1021,1023==CD BD ,在Rt ABD ∆中可求得3102AD =,故210AC =,故ABC ∆的面积为15. 6.已知函数()bf x ax c x=++(0)a >的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-.(1)将,b c 用a 表示出来；(2)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围； (3)求证:对所有正整数n ,都有1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++ . 解:(1)求导得2'()bf x a x =-,再由题意得'(1)1(1)0f a b f a b c =-=⎧⎨=++=⎩,解得112b a c a=-⎧⎨=-⎩(0)a >. (2)由(1)可知1()12a f x ax a x-=++-(0)a >. 令1()()ln 12ln a g x f x x ax a x x -=-=++--,[1,)x ∈+∞,则21(1)()'()aa x x a g x x ---=.当102a <<时,11a a ->,若1(1,)a x a-∈,则'()0g x <,故()g x 在区间1(1,)aa -上单调递减.所以,当1(1,)ax a -∈时,()(1)0g x g <=,即()ln f x x <,不合题意. 当12a ≥时,11aa-≤,若1x ≥,则'()0g x ≥,故()g x 在区间(1,)+∞上单调递增.所以,当[1,)x ∈+∞时,()(1)0g x g ≥=,即()ln f x x ≥,符合题意.综上可知,实数a 的取值范围为1[,)2+∞.(3)由(2)的结论知:当12a ≥时,()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立. 取12a =时有11()()ln 2f x x x x =-≥在[1,)+∞上恒成立,当1x >时,11()()ln 2f x x x x=->.依次令2341,,,,123n x n += 可得:212111ln ln 20()(1)121222=-<-=+；3132111ln ln 3ln 2()()2223223=-<-=+；4143111ln ln 4ln 3()()3234234=-<-=+；……111111lnln(1)ln ()()2121n n n n n n n n n n ++=+-<-=+++.将以上n 个等式相加,整理可得:1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++ .。