类比法在数学解题中的应用
摘要：类比是一种重要的逻辑方法，通过列举实例来说明类比法在数学解题中的应用，可以拓宽数学的解题思路，有助于培养学生的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性。
关键词：类比法；数学解题；应用
类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相
同或相似的思维方法，它通常称为类比法。
它是以比较为基础，通过对两个(或两类)不同的对象进行比较，找出它们的相同点或相似点，然后以此为依据，将关于某一些知识或结论推移到另一种对象中去。
其结论的可靠程度依赖于两个研究对象的共同属性，一般说来，共有属性愈多，结论的可靠程度就愈大；共有属性于是本质的，结论的可靠程度就愈高。
类比既是一种逻辑方法又是一种科学研究的方法，它是人们思考问题和处理问题的重要手段，是发明创造的一把金钥匙。
类比分为简单类比和复杂类比两类。
简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征，其模式为
对象 A具有属性 a、b、c，
对象B具有属性a、b
猜测对象B具有属性c
复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测，其
模式为
H蕴涵A
H蕴涵B，B真
猜测 A可能真
类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其正确性，还必须经过严格的逻辑论证。
运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：
类比思维在数学知识的延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导以寻求思维的变异和发散。
在数学学习中，我们可以通过类比学习新知识，也可以通过类比来寻求解题思路，甚至通过类比来推广数学命题。
利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。
下面我们从数学解题的角度来谈谈类比法的应用。
一、平面几何与立体几何的类比
有些立体几何问题的解决可类比于平面几何问题解决的思路方法，有时可简化运算与推理，优化解题过程。
例1 如图1，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（于四个面都相切的球）的球心O ，且与BC 、DC 分别截于E 、F ，如过截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A —BEFD 与三棱锥A —EFC 的表面积分别为12,S S ，则必有( )
(A) 12S S > (B) 12S S < (C) 12S S = (D) 12S S 与的大小关系不能确定
图1 图2
分析 本题是立体几何问题，将立体中的有关图形、有关量与平面相应的元素进行类比:
由此可得到平面几何中相应的问题：
如图2，在ABC 中，直线EF 经过其内切圆的圆心O ，且与AB 、AC 分别交于E 、F ，如果线段EF 将ABC 分成面积相等的两部分,设AEF 与四边形EBCF 的周长分C
别为L1、L2，求L1、L2关系。
设内切圆半径为r ，将四边形BCEF 分割为EOB BOC COF 、、三部分, 将AEF 分割为,AOE AOF ,则
EOB BOC COF AOE AOF S S S S S ++=+
∴()(),BE BC CE r AE AF r ++=+
∴AE AF BE BC CE +=++
由此得L1=L2，由类比思维可以猜想例1中的12S S =，其思路与相应的平面几何问题相仿，即将四棱锥A-BEFD 分割为O-ABD,O-ABE,O-ADF 与O-BEFD 四部分，而将三棱锥A-EFC 分割为O-AEC,O-AFCO-EFC 三部分，再利用两部分体积相等求解，本题答案为C 。
除此之外，高中数学中常见的还有解析几何中不同圆锥曲线之间性质的类比，不同类型三角函数性质的类比，等差数列与等比数列的类比，平面向量与空间向量的类比。
我们也可以利用两类事物之间的相似性或一致性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题或猜想。
例2 在ABC 中，,AB AC AD BC ⊥⊥于D 。
求证：222
111AD AB AC =+，那么在四面体ABCD 中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由。
证明：如右图所示，由射影定理，
222,,,AD BD DC AB BD BC AC BC DC =⋅=⋅=⋅ 所以：
又222BC AB AC =+,
2222222111AB AC AD AB AC AB AC +==+⋅，即222111AD AB AC
=+。
猜想：类比,AB AC AD BC ⊥⊥，猜想四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两B
C
22
22211BC BC AD BD DC BD BC DC BC AB AC ===⋅⋅⋅⋅⋅
垂直，AE BCD ⊥平面，则
2222
1111AE AB AC AD =++。
证明上述猜想成立。
如右图所示，连接BD 交CD 于F ，连接AF 。
因为,AB AC AD BC ⊥⊥，所以AB ACD ⊥平面。
而AF ACD ⊂面，故AB AF ⊥。
在Rt ABC 中，AE BF ⊥,故
222111.AE AB AF
=+ 在Rt ACD 中，AF CD ⊥,故222111.AF AC AD
=+ 所以：22221111AE AB AC AD =++．故猜想正确。
二、形式结构上的类比
某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决。
例3 任给7 个实数(1,2,3,7)k x k =，证明其中有两个数,i j x x ，满足不等式
01i j
i j x x x x -≤≤+ 分析 若任给7 个实数中有某两个相等，结论显然成立。
若7 个实数互不相等，则难以下手，但仔细观察可发现：1i j
i j x x x x -+与两角差的正切公式在结构上极
为相似，故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为三角问题。
作代换：tan (1,2,,7)k k x a k ==，证明必存在,i j x x
满足不等式0tan()i j a a ≤-≤。
证明 令tan (1,2,,7)k k x a k ==，,22k a ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，则则原命题转化为： 证明存在两个实数,,22i j a a ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，满足0tan()i j a a ≤-≤ 将,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦平均分为6个子区间，则在17,,a a 中至少有两个落到同一个子区间
内，不妨设为,i j a a ，故有06i j a a π≤-≤，于是0tan()3
i j a a ≤-≤。
从而0tan()
i j a a ≤-≤。
三、多元与少元的类比
将复杂的多元命题类比较简单的少元命题，通过求解简单命题的思路和方法，寻求解决多元命题的思路和方法。
即方法上的类比。
例4 已知0(1,2,3,)i x i n ≥=，且121n x x x +++=。
求证：
1n x ≤+≤分析 我们可先类比简单问题：
已知：12120,0,1,1x x x x ≥≥+=≤≤且求证：
该题的解题思路是：由1211x x +=≤≤，得0，
∴1212x x ≤++≤
即 212≤
≤，
∴1≤≤
上述证明过程中用到了基本不等式和配方法，这正是要寻找的证明原命题的思路和方法。
证明 由基本不等式，有
0i j x x ≤+，
12102
(1)()1n i j n x x x n ≤≤≤≤≤-+++=-∑
12112,n i j x x x n ≤≤≤≤++
++≤∑
即 21),n x n ≤+≤
1n x +≤ 多元问题类比为少元问题解决的思想方法，我们不难想到，有关高次问题也可以类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等。
四、数与形的类比
数是代数问题研究的对象，形是几何问题研究的对象。
常常在解析几何中我们运用数形结合的思想方法解决问题。
其实在研究其他数学问题时，有时也可以将“数”、“形”结合，已达到化简为繁，使所研究的问题变得简捷、直观。
例5 已知,,αβγ为锐角，且222cos cos cos 1αβγ++=。
求证：tan tan tan αβγ≥
分析 已知,,αβγ的余弦平方和为1，可以将它们类比成长方体ABCD —— 1111A B C D 的对角线1AC 与相邻三条棱的交角，此时关系式
222cos cos cos 1αβγ++=成立。
故而可以借助长方体的三边长a,b,c 类表达三个正切的积，最后再由基本不等式获得证明。
tan tan tan a b c
αβγ=⋅⋅
≥= 类比是数学中发现概念、定理、公式的重要手段，也是开拓新领域、创造新分支的重要手段，类比的关键是把两个对象之间的某种相似性确切的表达出来。
类比思想有助于培养学生的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性，值得我们研讨。
参考文献
【1】（美)波利业（Polya,G .）．数学与猜想：数学中的归纳和类比．北京：科学出版社．2001
【2】朱月珍．一种特殊的数学思维方法——类比法．甘肃高师学报．2008．13．5
【3】孙卫东．浅谈类比法在数学教学中的应用．甘肃科技纵横．2006．2。