一、 整数四则运算定律（1） 加法交换律：a b b a +=+的等比数列求和（2） 加法结合律：()()a b c a b c ++=++（3） 乘法交换律：a b b a ⨯=⨯（4） 乘法结合律：()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯（5） 乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯；()b c a b a c a +⨯=⨯+⨯（6） 减法的性质：()a b c a b c --=-+（7） 除法的性质：()a b c a b c ÷⨯=÷÷；（8） 除法的“左”分配律：()a b c a c b c +÷=÷+÷；()a b c a c b c -÷=÷-÷，这里尤其要注意，除法是没有“右”分配律的，即()c a b c a c b ÷+=÷+÷是不成立的！备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．二、 加减法中的速算与巧算速算巧算的核心思想和本质：凑整。

常用的思想方法总结如下：（1） 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．（2） 加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．（3） 数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．（4） “基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）知识框架整数速算巧算三、乘法凑整思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。

例如：425100⨯=，81251000⨯=，520100⨯=123456799111111111⨯=（去8数，重点记忆）711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆）理论依据：乘法交换率：a×b=b×a乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c)乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)四、乘、除法混合运算的性质（1）商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：()()()()0a b a n b n a m b m m÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠，0n≠（2）在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b÷÷=÷÷（3）在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．例如：a b c a c b b c a⨯÷=÷⨯=÷⨯（4）在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即()()a b c a b c a b c a b c⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()a b c a b c a b c a b c÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()()() a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷（5）两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即()()()()()()a b c d a c b d a d b c⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．（1）位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

（2）位值原理的表达形式：以六位数为例：10000010000100010010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+abcdef a b c d e f以具体数字为例：38976231000008100009100071006102=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+六、提取公因数思想1.乘法运算中的提取公因数：（1）乘法分配律：()b c a b a c a+⨯=⨯+⨯⨯+=⨯+⨯或()a b c a b a c（2）提取公因数即乘法分配律的逆用：()b ac a b c a⨯+⨯=+⨯⨯+⨯=⨯+或()a b a c a b c2.除法运算中的提取公因数：（1）除法的“左”分配律：()-÷=÷-÷a b c a c b c+÷=÷+÷；()a b c a c b c（2）除法的“左”提取公因数：()÷+÷=+÷a cbc a b c七、要注意添括号或者去括号对运算符号的影响（1）在“+”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“-”号都不变；（2）在“-”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“-”号都改变，其中“+”号变成“-”号，“-”号变成“+”号；（3）在“⨯”号后面添括号或者去括号，括号内的“⨯”、“÷”号都不变，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；（4）在“÷”号后面添括号或者去括号，括号内的“⨯”、“÷”号都改变，其中“⨯”号变成“÷”号，“÷”号变成“⨯”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．例题精讲一、加减速算【例 1】计算: 123234345456567678789++++++【巩固】计算: 123423453456456756786789+++++【例 2】计算：(5678967895789568956795678)7++++÷【巩固】计算：(3456745673567346734573456)5++++÷二、乘法速算【例 1】计算：333333333333⨯【巩固】计算：333333999999⨯ ．【例 2】()⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷-235711131720042【巩固】请你根据“乘法的凑整”思路，推算下列各题．⨯⨯ 2310303561002【例 3】57223949⨯⨯⨯⨯=．【巩固】计算：45691117366685（）（）⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯【例 4】计算：571111151521（）（）（）÷÷÷÷÷÷【巩固】123344556÷÷÷÷÷÷÷÷（）（）（）（）三、提取公因数【例 5】计算：343535353434⨯-⨯．【巩固】计算：33201020102010330033⨯-⨯=。

【例 6】计算：75451725⨯+⨯【巩固】计算：53574743⨯-⨯=．【例 7】8822557344443355⨯+⨯-⨯-⨯=．【巩固】3334343535363637_______⨯+⨯+⨯+⨯=【例 8】计算：7652132776532727⨯÷+⨯÷【巩固】计算：253214362125⨯÷+÷⨯【例 9】计算：156781994221996+⨯+⨯【巩固】237539879207601339876832⨯+⨯+⨯【例 10】下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！199720002000200019971997⨯-⨯【巩固】200920082008200820092009⨯-⨯=_______课堂检测【随练1】计算：(123456234561345612456123561234612345)111111+++++÷【随练2】23571113171938516577（）（）⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯【随练3】计算：2003200111120037337⨯÷+⨯÷【随练4】计算：200620002000200020062006⨯-⨯家庭作业【作业1】计算：(123456789234567891345678912456789123912345678)9+++++÷【作业2】计算：(494249434938493949414943÷．+++++)6【作业3】计算：1110932122242527（）（）⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯【作业4】67200254335467⨯+⨯+⨯=【作业5】计算：7713255999510⨯+⨯+【作业6】20092008200820082008200920092009⨯-⨯。