整数速算与巧算（二）知识框架一、整数四则运算定律（1） 加法交换律：a b b a +=+的等比数列求和（2） 加法结合律：()()a b c a b c ++=++（3） 乘法交换律：a b b a ⨯=⨯（4） 乘法结合律：()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯（5） 乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯；()b c a b a c a +⨯=⨯+⨯（6） 减法的性质：()a b c a b c --=-+（7） 除法的性质：()a b c a b c ÷⨯=÷÷；（8） 除法的“左”分配律：()a b c a c b c +÷=÷+÷；()a b c a c b c -÷=÷-÷，这里尤其要注意，除法是没有“右”分配律的，即()c a b c a c b ÷+=÷+÷是不成立的！备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．二、利用位值原理思想进行巧算（1） 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
（2） 位值原理的表达形式： 以六位数为例：10000010000100010010abcdef a b c d e f =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+以具体数字为例：38976231000008100009100071006102=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+三、提取公因数思想1. 乘法运算中的提取公因数：（1） 乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯或()b c a b a c a +⨯=⨯+⨯（2） 提取公因数即乘法分配律的逆用：()a b a c a b c ⨯+⨯=⨯+或()b a c a b c a ⨯+⨯=+⨯2.除法运算中的提取公因数：（1）除法的“左”分配律：()-÷=÷-÷a b c a c b ca b c a c b c+÷=÷+÷；()（2）除法的“左”提取公因数：()a cbc a b c÷+÷=+÷例题精讲一、位值原理【例 1】计算：123223423523723823+++++．【考点】位值原理【难度】2星【题型】计算【解析】原式=(10023+)+(80023+)+(70023+)+)+(40023+)+(50023+)+(20023=(100200400500700800+⨯=+=+++++)23627001382838【答案】2838【巩固】计算：8532531153953653453+++++【考点】位值原理【难度】3星【题型】计算【解析】原式(8211964)10053640100506364000300184318 =+++++⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=++=【答案】4318【例 2】计算：(1234234134124123)5+++÷【考点】位值原理【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，第8届，走美杯，3年级，决赛，第1题，8分【解析】原式中千位数的和除以5为，(1234)52+++÷=，同样百位、十位、个位都为2，所以结果为2222。
【答案】2222【巩固】计算：(9876+7967+6688+8799)5÷【考点】位值原理【难度】3星【题型】填空【解析】(9876+7967+6688+8799)5(9876)111156666÷=+++⨯÷=【答案】6666【例 3】计算：(123456234561345612456123561234612345)3+++++÷【考点】位值原理【难度】3星【题型】计算【解析】仔细观察我们可以发现1、2、3、4、5、6分别在个、十、百、千、万、十万6个数位上各出现过一次，所以原式=[(123456+++++)100000⨯+(123456+++++)10000⨯+ (123456+++++)1000⨯+ (123456+++++)100⨯+(123456+++++)10⨯+(123456+++++)]3÷=[(123456+++++)111111⨯]32111111137111111777777÷=⨯÷=⨯=．【答案】777777【巩固】 计算：(1234567234567134567124567123567123467123457123456)7++++++÷【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算【解析】 括号内的7个加数，都是由1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成，换句话说，这7个数的每一位也分别是1、2、3、4、5、6、7，它们的和是28，即如果不进位，每一位的和都是28．所以 原式(28100000028100000281000028100028100281028)7=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+÷2811111117=⨯÷1111111(287)=⨯÷4444444=【答案】4444444【例 4】 计算：(1234234134124123)(1234)+++÷+++【考点】位值原理 【难度】2星 【题型】计算【关键词】第五届，希望杯【解析】 原式=(1234+++)1111⨯÷(1234+++)1111=．【答案】1111【巩固】 计算：(1357357157137135+++)÷(1357+++)【考点】位值原理 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式=(1357+++)1111⨯÷(1357+++)1111=【答案】1111【例 5】 计算：(123456234561345612456123561234612345)111111+++++÷【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式(123456)11111111111121=+++++⨯÷=【答案】21【巩固】 计算：(1597153353375357971791199)55555++++÷【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式(1597153353375357971791199)555552511111555555++++÷=⨯÷=【答案】5二、提取公因数【例 6】 计算：36196419⨯+⨯【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式3664191900=+⨯=（）【答案】1900【巩固】 计算：361964144⨯+⨯【解析】 原式 36196419125=⨯+⨯+（）36641964125190088125190080009900=+⨯+⨯=+⨯⨯=+=（） 【答案】9900【例 7】 计算：315325335345÷+÷+÷+÷．【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】1星 【题型】计算【关键词】第二届，希望杯，四年级，第二试【解析】 原式313233345=+++÷（）130526=÷=【答案】26【巩固】 计算：2847285728672877288728972907÷+÷+÷+÷+÷+÷+÷【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式=(284285286287288289290)728777287++++++÷=⨯÷=【答案】287【例 8】 20082006200720052007200620082005⨯+⨯-⨯-⨯【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2007年，希望杯，1试【解析】 原式2006(20082007)2005(20082007)=⨯--⨯-20061200511=⨯-⨯=【答案】1【巩固】 计算200019991999199819981997199719961996199519951994⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 题目是六项乘积的和差运算 , 其中 , 每两项中都有公因数 , 于是 , 我们先分组简算 .原式=1999 × (2000-1998)+1997 × (1998-1996)+1995 × (1996-1994)=1999 × 2+1997 × 2+1995 × 2=2 × (1999+1997+1995)=2 × (2000+2000+2000-9)=2 × (6000-9)=2 × 6000-2 × 9=12000-18=11982【答案】11982【例 9】3520703578⨯++⨯【考点】四则混合运算之提取公因数【难度】2星【题型】计算【解析】原式3520352357835(20278)351003500=⨯+⨯+⨯=⨯++=⨯=【答案】3500【巩固】计算：8019953990199522⨯-+⨯【考点】四则混合运算之提取公因数【难度】2星【题型】计算【解析】把3990分解为19952⨯中都有相同的乘数1995，可以利用⨯、221995⨯、21995⨯，这样801995乘法分配律进行巧算，原式801995219951995221995(80222)199500=⨯-⨯+⨯=⨯-+=【答案】199500【例 10】计算：11353715⨯-⨯【考点】四则混合运算之提取公因数【难度】2 【题型】计算【关键词】2007年，走美杯，初赛【解析】根据“一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变”的道理，进行适当变换，再提取公因数，进而凑整求和．原式11353735=⨯-⨯⨯=⨯-⨯11351115=-⨯(113111)5=10【答案】10【巩固】计算：99666667818⨯+⨯【考点】四则混合运算之提取公因数【难度】2星【题型】计算【解析】原式332236667818(33226678)18180000=⨯⨯+⨯=+⨯=【答案】180000【例 11】 3496535277228÷-÷【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式(3500035)35(280028)28=-÷--÷100011001=--+900=【答案】900【巩固】 计算：2772283496535÷+÷【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式(280028)28(3500035)35=-÷+-÷100110001=-+-1098=【答案】1098【例 12】 计算：91791175174517⨯+÷-⨯+÷【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 分配律的逆运算是个难点，建议教师先讲解铺垫中的题目原式91751791174517=⨯-⨯+÷+÷95179145174171361768876=-⨯++÷=⨯+÷=+=（）（） 【答案】76【巩固】 1719931910174019⨯+÷-⨯+÷【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 看到算式中既有乘法，又有除法，可以考虑讲乘法与除法分开，这时又可以运用乘法中的提取公因数方法以及除法中的()a b c a c b c +÷=÷+÷的逆运用，简便运算．原式1719101793194019=⨯-⨯+÷+÷(1910)17(9340)19=-⨯++÷917133191537160=⨯-÷=+=【答案】160课堂检测【随练1】1234551234451233451223451++++【考点】位值原理【难度】3星【题型】计算【解析】因为每个数位上都出现了1、2、3、4、5，所以原式(12345)(100001000100101)1511111166665 =++++⨯++++=⨯=【答案】166665【随练2】计算：(5678967895789568956795678)7++++÷【考点】位值原理【难度】3星【题型】计算【关键词】2004年，陈省身杯【解析】观察可知5、6、7、8、9在万、千、百、十、个位各出现过一次，所以，原式(56789)11111751111155555=++++⨯÷=⨯=．【答案】55555【随练3】2514(753251)2⨯+-⨯=。