1．(2010·福建)计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22D.32答案 A解析 原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.2．已知sin α＝1213，cos β＝45，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( )A.3365B.6365C ．－1665D ．－5665答案 A解析 因为α是第二象限角，且sin α＝1213，所以cos α＝－1－144169＝－513. 又因为β是第四象限角，cos β＝45，所以sin β＝－1－1625＝－35. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1213×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝3365.3．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)等于( )A.75 B.15 C ．－75D ．－15答案 B解析 因为α∈(0，π2)，sin α＝35，所以cos α＝1－925＝45.所以2cos(α＋π4)＝2(cos αcos π4－sin αsin π4)＝2(22cos α－22sin α)＝cos α－sin α＝45－35＝15.4．化简cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β的结果为( )A ．sin(2α＋β)B ．cos(α－2β)C ．cos αD ．cos β答案 C解析 等式即cos(α－β＋β)＝cos α.5．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 B解析 a ＝2sin(45°＋14°)＝2sin59°，b ＝2sin(45°＋16°)＝2sin61°，c ＝62＝2sin60°，∴b >c >a . 6．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则cos A cos B ＝( )A.14B.34 C.12 D ．－14答案 B解析 tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin A ＋B cos A cos B ＝sin60°cos A cos B＝32cos A cos B ＝233，∴cos A cos B ＝34.7．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322C.322D.16答案 C 解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.8．(2009·陕西)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2答案 A解析 3sin α＝－cos α⇒tan α＝－13.1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋191－23＝103. 9．(2010·全国卷Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝________.答案 －17解析 由cos2α＝2cos 2α－1＝－35，且α为第三象限角，得cos α＝－55，sin α＝－255， 则tan α＝2，tan2α＝－43，tan(π4＋2α)＝1＋tan2α1－tan2α＝－17.10．(2011·沧州七校联考)化简：sin3α－πsin α＋cos 3α－πcos α＝________.答案 －4cos2α解析 原式＝－sin3αsin α＋－cos3αcos α＝－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4αsin αcos α＝－4sin αcos α·cos2αsin αcos α＝－4cos2α.11．不查表，计算1sin10°－3sin80°＝________.(用数字作答)答案 4解析 原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin 30°－10°sin20°＝4.12．已知tan2θ＝34(π2<θ<π)，求2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4的值．答案 －12解 ∵tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝34， ∴tan θ＝－3或tan θ＝13，又θ∈(π2，π)，∴tan θ＝－3，∴2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ1－tan θ＝1－31＋3＝－12. 13．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值． 答案 (1)45 (2)β＝3π4解 (1)解法一：sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan 2α2＝45. 解法二：tan α＝2tanα21－tan 2α2＝43，所以sin αcos α＝43.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45.(2)因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210. 所以sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)cos α ＝7210×35＋210×45＝22. 因为β∈(π2，π)，所以β＝3π4.14．(2011·广东)已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R .(1)求f (5π4)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．答案 (1) 2 (3)1665解析 (1)∵f (x )＝2sin(13x －π6)，∴f (5π4)＝2sin(5π12－π6)＝2sin π4＝ 2.(2)∵α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，∴2sin α＝1013，2sin(β＋π2)＝65，即sin α＝513，cos β＝35，∴cos α＝1213，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.15．已知sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝16，x ∈(π2，π)，求sin4x 的值．答案 －429思路 由题设注意到π4＋x ＋π4－x ＝π2，因此需交换后再用公式求解．解析 ∵sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝sin(π4＋x )cos[π2－(π4－x )]＝sin(x ＋π4)cos(π4＋x )＝12sin(2x ＋π2)＝12cos2x ＝16，∴cos2x ＝13.∵x ∈(π2，π)，∴2x ∈(π，2π)，∴sin2x＝－223.∴sin4x ＝2sin2x cos2x ＝－429.探究 (1)一般说来，在题目中有单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注意2α，2α－π2，α－π4等之间关系的运用． (2)在求cos2x 的过程中，本题也可采用如下方法：sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝(22sin x ＋22cos x )(22cos x －22sin x )＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos2x ＝16，从而得cos2x ＝13.1．化简sin15°cos9°－cos 66°sin15°sin9°＋sin66°的结果是( )A ．tan9°B ．－tan9°C ．tan15°D ．－tan15°答案 B 解析 sin15°·cos9°－cos66°sin15°sin9°＋sin66°＝sin15°·cos9°－sin24°sin15°·sin9°＋cos24°＝sin15°·cos9°－sin15°·cos9°－cos15°·sin9°sin15°·sin9°＋cos15°·cos9°－sin15°·sin9°＝－cos15°·sin9°cos15°·cos9°＝－tan9°.2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π答案 B解析 f (x )＝2sin(2x －π4)，∴T ＝2π2＝π.3．若sin2θ＝1，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值是( )A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．－2－ 3D ．－2＋ 3答案 C解析 由已知，得θ＝k π＋π4，代入即可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4＋π3 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝－2－ 3. 4．(2008·浙江)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2答案 B解析 考查三角函数的运算与转化能力，已知正弦和余弦的一个等量关系，可以结合正弦余弦平方和等于1，联立方程组解得正弦余弦的值，再利用tan α＝sin αcos α求得，但运算量较大，作为选择题不适合．也可以利用三角变换处理，原等式即5sin(α＋φ)＝－5，其中tan φ＝12，0<φ<π2，∴sin(α＋φ)＝－1，∴α＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴tan α＝cot φ＝2.也可观察得到答案．5．已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4.求cos α的值．答案210解析 sin(α＋π4)＝45且π4<α<3π4∴π2<α＋π4<π∴cos(α＋π4)＝－1－sin2α＋π4＝－35∴cos α＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－35×22＋45×22＝210.1．已知在△ABC 中，cos B cos C ＝1－sin B ·sin C ，那么△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形答案 B解析 由条件知cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，cos(B －C )＝1，B －C ＝0，∴B ＝C . 2．在△ABC 中，“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．即不充分也不必要条件 答案 C解析 在△ABC 中，A ＝π－(B ＋C )， ∴cos A ＝－cos(B ＋C )， 又∵cos A ＝2sin B sin C ，即－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C . ∴cos(B －C )＝0，∴B －C ＝π2，∴B 为钝角． 3．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α、β满足53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，求cos(α＋β)的值．解析 ∵53sin α＋5cos α＝8，∴sin(α＋π6)＝45.∵α∈(0，π3)，∴(α＋π6)∈(π6，π2)，∴cos(α＋π6)＝35.又∵2sin β＋6cos β＝2，∴sin(β＋π3)＝22，∵β∈(π6，π2)，∴(β＋π3)∈(π2，5π6)，∴cos(β＋π3)＝－22，∴sin[(α＋π6)＋(β＋π3)]＝sin(α＋π6)cos(β＋π3)＋cos(α＋π6)sin(β＋π3)＝－210， ∴cos(α＋β)＝－210. 4．求(tan10°－3)·cos10°sin50°的值．解析 (tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·cos10°sin50°＝sin10°cos60°－sin60°cos10°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－sin 60°－10°cos10°·cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.。