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1995圣彼得堡数学奥林匹克_初中_

7. 1. 同 6. 1. 7. 2. 同 6. 4. 7. 3. 某大公的卫队里有 1 000 名武士. 任 何两名武士或者互为朋友 ,或者互为敌人 ,或 者互不认识. 武士们都是寡合的 ,他们都只同 朋友才说话. 但是 ,现状使得每名武士都不开 心 ,因为对于每名武士来说 ,他的任何两个朋 友都互为敌人 ,而他的任何两个敌人都互为 朋友. 证明 :为了使得所有武士都知道大公的 一项新决定 ,大公至少需要通知 200 名武士. 7. 4. 矩形的方格表被分成一系列 1 ×2
2006 年第 1 期
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再品佳题
1995 圣彼得堡数学奥林匹克 (初中)
苏 淳 译
(中国科学技术大学统计与金融系 ,230026)
第一轮
6. 1. 试在 4 ×4 方格表的每一个方格中 填入一个正整数 ,使得各行数的乘积的和能 被 5 整除 ,而各列数的乘积的和不能被 5 整 除. (先将每一行中的 4 个数相乘 ,再把 4 个 乘积相加 ;对列作同样处理. )
8. 7. 矩形的方格表被分成一系列 1 ×2 的矩形 (多米诺) . 现知每一条与方格线平行 的非方格线的直线所穿过的多米诺的数目都 是偶数. 证明 :方格表的一条边的边长是 4 的 倍数.
参考答案
第一轮
6. 1. 一种填法如图 3. 6. 2. 由于树林里生长着
橡树和枞树 ,而被砍去的橡树 不到橡树总数的一半 ,被砍去 的枞 树 也 不 到 枞 树 总 数 的 一 半 ,所以 ,被砍去的树木不到
7. 3. 在某岛上居住着 100 个人 ,其中一 些人总说假话 ,其余人则永远说真话. 岛上的 每位居民崇拜三个神之一 :太阳神 、月亮神和 地球神. 向岛上的每位居民提了三个问题 :
(1) 您崇拜太阳神吗 ? (2) 您崇拜月亮神吗 ?
(3) 您崇拜地球神吗 ? 对第一个问题有 60 人回答 “: 是”; 对第 二个问题有 40 人回答 “: 是”;对第三个问题 有 30 人回答 “: 是”. 他们中有多少人说的是 假话 ? 7. 4. 如果蘑菇上面寄生着多于 11 条蠕 虫 ,则被称为“坏的”;如果蠕虫只吃了它所寄
不同的数 ,它们之中没有 1.
解法 2 :在规定的操作下 ,数的数字个数不会减
少. 因此 ,一旦得到一个三位数甚至更多位数的数之
后 ,数的位数无论如何都不会再减少到两位 . 图 4 中
给出了由 1 出发得到的一切可能的第一个三位数 ,
在得到它们的过程中并没有出现 74 :
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图4
7. 1. 可以排为 1 ,1 ,2 ,1 ,2 ,2 ,3 ,3 ,1 ,3. 7. 2. 参阅 6. 4 的解法. 7. 3. 将永远说真话的人称为“老实人”,把总说 假话的人称为“骗子”. 每个老实人都只会对一个问 题回答 “: 是”. 而每个骗子则都对两个问题答 “: 是”. 将老实人的人数记为 x ,将骗子的人数记为 y. 于是 , x + 2 y = 130. 又由于在该岛上居住着 100 个人 ,所 以 , x + y = 100. 从而可知 ,有 y = 30 个人说的是假 话. 7. 4. 将坏的蘑菇数目记为 k ,于是 ,树林里的蘑
菇总数为
4 k. 如果蠕虫吃了它所寄生的蘑菇的
1 5

上 ,就将它称为“肥的”. 显然 ,在 1 个蘑菇上面至多
有 4 条肥的蠕虫 ,所以 ,肥蠕虫的数目不多于 16 k. 既
然在每个坏的蘑菇上面至少寄生着 12 条蠕虫 ,所
以 ,它们当中至少有 8 条是瘦的 ,因此 ,坏的蘑菇上
面至少一共有
8k
条瘦蠕虫 .
11 8 5 4 7 6
10 3 9
图5
图6
8. 3. 如图 6 ,由题意知 B E = CF. 在边 AB 上取点
K ,使得 A K = B E. 易知 △A KD ≌△CFD. 从而 , DK =
DF = DE. 故 △DKE 为等腰三角形 ,有
∠DKE = ∠DEK.
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又 A K = B E , DK = DE , ∠DKA = ∠DEB , 则 △ADK ≌ △BDE. 从 而 , AD = BD , 于 是 , △ABD为等边三角形. 所以 , ∠BAD = 60°. 8. 4. 容易看出 ,各位数字之和等于 38 的五位数 的各位数字中不可能有 0 ,否则它的各位数字之和 不超过 4 ×9 = 36. 如果将每个各位数字之和等于 38 的奇数的末尾两位数字各减去 1 ,就可以得到 1 个各 位数字之和等于 36 的偶数. 由不同的奇数得到不同 的偶数 ,所以 ,各位数字之和等于 38 的奇数不多于 各位数字之和等于 36 的偶数. 另一方面 ,存在各位 数字之和等于 36 的偶五位数 (如 99 990) 不能通过这 样的办法得到. 所以 ,各位数字之和等于 36 的偶数 更多.
5551 5551 5551 5551
图3
一半.
6. 3. 乘积 AB 介于
22 222 ×33 333 与 33 333 ×44 444
之间 ,也就是介于
740 725 926 与 1 481 451 852
之间 ,所以 ,AB 的首位数不可能是 2.
6. 4. 解法 1 :如果可以由 1 得到 74 ,那么 ,通过重
6. 4. 试求方程 19 x - yz = 1 995 的所有质 数解组 ( x , y , z) .
6. 5. 在 9 ×9 方格表中有 19 个方格被染 成红色. 证明 :或者可以找到两个有公共边的 红色方格 ;或者可以找到一个未被染红的方 格 ,它至少与两个红色方格都有公共边.
6.6. 矩形形状的巧克力被凹槽分割为 17 ×17 个方格 ,甲 、乙两人按如下法则做游 戏 :每人每次都将 1 块矩形形状的巧克力块 分为 2 个矩形 (只能沿着凹槽切开) 块 ;并且 乙每次做完后都立即吃掉他所分出的 1 个矩 形块. 谁不能继续下去 ,就算谁输. 甲先开始. 试问 :在正确的策略之下 ,谁将获胜 ?
中等数学
的矩形 (多米诺) . 现知每一条方格线所穿过
的多米诺的数目都是 4 的倍数. 证明 :方格表
的一条边的边长是 4 的倍数.
7. 5. 计算机的屏幕上显示着数 1. 每一
秒钟计算机都进行一次如下的操作 :如果屏
幕上的数能被 2k 整除 ,则将它加上 1 至 k +
1 中的任意一个正整数. 证明 :任何一个 2 的
图2
AB 相交 ,交点记为 K. 证明 : KE = KD.
2006 年第 1 期
8. 5. 一笔遗产包括若干枚钻石 ,价值 1 000 000. 现知可以将其分成 5 等份 ,也可 以分成 8 等份. 试求最小一枚钻石价值的最 大可能值.
8. 6. 将正整数 1 至 100 按任意顺序分别 写在正 100 边形的各个顶点上. 允许交换任 何两个差为 1 的数的位置. 在经过若干次这 种操作之后 ,每个数都移到了顺时针方向的 相邻顶点上. 外接圆的直径的两个端点相互 称为对径点. 证明 :必有某一时刻 ,有两个处 于对径点上的数交换位置.
矩形.
8. 2. 能否将正整数 3 ,4 , …,11 填入 3 ×3
方格表 ,使得第一行的数的乘积等于第一列
的数的乘积 ;第二行的数的乘积等于第二列
的数的乘积 ;第三行的数的乘积也等于第三
列的数的乘积 ?
8. 3. 如图 1 ,
设 四 边 形 ABCD
为菱 形 , 点 E、F
分 别 位 于 边 AB 、
因此
,有不少于
1 3
的蠕
虫是瘦的.
8. 1. 每个角状形的面积是 3 ,所以 ,矩形的面积
是 3 的倍数. 既然矩形的边长为整数 ,而它的面积等
于长乘宽 ,3 又是质数 ,所以 ,矩形至少有一边之长
是 3 的 倍 数. 故 可 把 该 矩 形 分 为 一 系 列 1 ×3 的
矩形.
8. 2. 可以. 一种填法如图 5.
6. 2. 在树林里生长着橡树和枞树. 主人 砍去了橡树的三分之一和枞树的六分之一. 生态组织“绿色复仇者”断言 ,树林中有一半 树被砍去. 证明 :在该断言中 ,包含有不正确 的成分.
6. 3. 十进制五位数 A 的各位数字都是 2 或 3 ,而十进制五位数 B 的各位数字都是 3 或 4. 试问 :乘积 AB 的各位数字能否全都是 2 ? 说明理由.
BC 上 , 且 AE =
5 B E , B F = 5 CF.
图1
若 △DEF 为 等 边
三角形 ,试求 ∠BAD 的度数.
8. 4. 有如下两类五位数 :
(1) 各位数字之和等于 36 ,且为偶数 ;
(2) 各位数字之和等于 38 ,由.
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第二轮
6. 1. 25 个学生站成一行. 现知最左面的 学生比最右面的学生高. 证明 :可以找到一个 学生 ,他的左邻高于右邻.
生的蘑菇的不多于 1 5
,则称蠕虫为“瘦的”. 现
知树林里
1 4
的蘑菇是坏的.
证明
:有不少于
1 3
的蠕虫是瘦的.
8. 1. 一个矩形的边长为整数. 现知可以
把它分为一系列角状形 (即将 2 ×2 的正方形
去掉任何一个单位正方形后所成的图形) . 证
明 : 可 以 把 该 矩 形 分 为 一 系 列 的 1 ×3 的
左端.
8. 1. 将正三角形的中心与它的三个顶点
都相连. 在三条连线和三条边上各写着一个
正整数. 对于其中任何三条形成一个三角形
的线段 ,都可以将写在它们上面的数同时加
1. 证明 :通过这种操作 ,可以使 4 个三角形的
各边上的数的和被 3 除的余数相同.
8. 2. 同 7. 3.
8. 3. 以 p( n , k) 表示正整数 n 的不小于
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