1
①形如a n
1 n(n ，可裂项成a n
k)
i ,1
k
(n 丄)，列出前
n k
n 项求和消去一些项
②形如a n
1
------ ，可裂项成
、n k
a n
k n)，
列出前n 项求和消去 些项
例：已知数列a n
(n 1)(n 1)(n
2)，
a 1 1，求前n 项和 S n
数列求和及求通项
、数列求和的常用方法
1、公式法： 利用等差、等比数列的求和公式进行求和
2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前 n 项和，均可用错位相减法
例：已知数列a n
，求前n 项和S n
3
3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项
4 、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。
例：已知数列a n 2n 2n 1，求前n项和S n
5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）
一、数列求通项公式的常见方法有：
1、关系法
2、累加法
3、累乘法
4、待定系数法
5、逐差法
6、对数变换法
7、倒数变换法
8、换元法
9、数学归纳法
累加法和累乘法最基本求通项公式的方法
求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列, 过累加法或累乘法求出通项公式。
二、方法剖析
1、关系法：适用于S n f(n)型
2
例：已知数列a n的前n项和为S n n n 1，求数列a.的通项公式
2、累加法：适用于a n 1 a n f(n)- 广义上的等差数列
求解过程：若a n 1a n f(n)
则a2a1f(1)
a3a2f(2)
累加f
a n a n 1f(n1)
1 1n 1
所有等式两边分别相加得: a n a1 f (k) 则a n a1f(k)
k 1k 1
例：已知数列a n满足递推式a n 01 12n 1(n 2)，a11, 求a n的通项公式再通
求解过程：a n
a i S i(n 1) S n S n i(n 2)
3、累乘法：适用于a n 1 f (n )a n ――广义上的等比数列
4、待定系数法：适用于 a n 1 pa n f (n)
①形如a n 1 pa n b( p, b 为常数；p,b 0, p 1)型(还可用逐差法)
求解过程：构造数列a n 1 k p(a n k)，展开得a n 1 pa n pk k ，因为系数相等，所
以解方程pk k b 得k ——，所以有：a n 1 ——
p(a . ——)，这样就构造出了
p 1 p 1
p 1
一个以a 1 ——为首项，公比为 p 的等比数列 a n ——。
从而求得a n 的通项公式为 p 1 p 1
, b 、n 1 b a n (a 1 )p
p 1
p 1
求解过程：若a n 1
f (n)a "，则于
f(n)
则 亚 f(1),a3 f (2)……-a ^ f(n 1) a i a 2
a n 1 所有等式两边分别相乘得:
f(k)
k 1
n 1
则 a n a 1
f (k)
k 1
例：已知数列a n 满足递推式a n 2n a n1(n
2)，其中a 1 3,求a n 的通项公式
a n
例：已知数列a n满足递推式a n 2a n 1 1(n 2)，其中a“ 2,求务的通项公式②形如a n 1pa n bn c（p,b,c为常数；p,b 0, p 1）型
pa n bn2 cn d（p,b,c,d为常数;p,b 0, p 1）型
③形如a n 1
④形如a n 1pa n m q n d（m, p, q, d为常数；m, p,q 0； p, q 1）型
⑤形如a n 2 pa n 1 qa n（p,q为常数;p,q 0; p, q 1）型
5、逐差法：
形如a n 1 pa n b( p, b为常数，p,b 0, p 1),可以把n换成n 1有a n pa n 1 b，两式相减得a n i a n p(a n a n i)，这样就构造出了一个以a2 a i为首项，公比为p的等比数列a n 1 a n ，再运用累加法求出a n 的通项公式
例：已知数列a n 满足递推式a n 2a n1 1(n 2)，其中a1 2,求a n 的通项公式
q
6、对数变换法：适用于a n 1 pa n (q 1) 型
qq
a n (q 1) ，等式两边取对数有： ln(a n 1) ln(a n )，根 qln(a n ) ，这
样就构造了一个以 ln( a 1 )为首项，公比为 q
qq
②当 p 1 时， a n 1 pa n (q 1) ，等式两边取对数有： ln(a n 1) ln(pa n ) ，根据对数的 运算法则有： ln(a n 1 ) ln p qln(a n ) ，再运用待定系数法求出通项。
3
例： 已知数列 a n 满足递推式 a n 1 2a n 3 ， a 1 2，求数列 a n 的通项公式
7、倒数变换法：适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例：已知数列a n 满足递推式a n 1 -2a J ，a
i
2，求数列a n 的通项公式
a n 4
8、换元法：适用于含根式的递推公式
求解过程：①当 p 1时，a n 1 据对数的运算法则有： ln(a n 1) 的等比数列 ln( a n ) 。
从而求得
a n q n1
的通项公式为 a n
a 1q
例：已知数列 a n 满足递推式 a n 1
2
a n 2 ， a 1 2，求数列 a n 的通项公式
-a n . Ca n，a i 2，求数列a n的通项公式例：已知数列a n满足递推式a n 1
2
9、数学归纳法：通过首项和递推关系求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明
例:已知数列a n满足递推式a n i a n8(：1)，6 8，求数列a n的通项公
(2n 1)(2 n 3) 9
变式：①若a n 2a n i n(n 2) ?
2
②若a n 2a n 1 n2(n 2)？
综合练习：
1、已知数列a n 满足递推式a n 2a n 1 1(n 2) ，其中a4 15
(1)求a1，a2，a3；
(2 )求数列a n 的通项公式；
(3)求数列a n的前n项和S n；
③若a n 2a n 1 2 3n 2(n 2) ？思考：若a n 2a n 1 n3(n 2)？
3、数列a* 的前n 项和为S n, a i=1 , a* i 2S* (n N )
(1 )求数列a n的通项公式;
(2)求数列na n的前n项和T n ；
(2)求数列a n的前n项和S n ；3
4 、已知S n是数列a n 的前n 项和，
a1 2 S* 1 3S n 2S n 1 1 0(n 2,n N )。
(1)求证a n 1时等比数列；, a2 2
2、设在数列a n中，a i 2 , a* i
2
a*
-，求数列a n的通项公式;
5、已知a1 1 n项和S n
,a n 色口（n 2），求a n的通项公式及前
na n i 1
6、已知数列a n 满足a1 3 ，a n a n 1 2a n 1 1 n 2 （1）求a2，a3，a4；
（2 ）求数列a n 的通项公式；。