2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理)(全国I 卷)一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.设121iz i i-=++,则||z =( ) (A )0 (B )12 (C )1 (D )22.已知集合{}2|20A x x x =-->,则RA =( )(A ){}|12x x -<< (B ){}|12x x -≤≤(C ){}{}|1|2x x x x <->(D ){}{}|1|2x x x x ≤-≥3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如右饼图。
则下面结论中不正确的是( )(A )新农村建设后,种植收入减少(B )新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 (C )新农村建设后,养殖收入增加了一倍(D )新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+,12a =,则5a =( ) (A )12- (B )10- (C )10 (D )125.设函数()()321f x x a x ax =+-+,若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为( ) (A )2y x =- (B )y x =- (C )2y x = (D )y x =6.在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =( ) (A )3144AB AC - (B )1344AB AC - (C )3144AB AC + (D )1344AB AC + 7.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) (A )334 (B )233 (C )324 (D )328.设抛物线C :24y x =的焦点为F ,过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点,则FM FN ⋅=( ) (A )5 (B )6 (C )7 (D )89.已知函数()()()0ln 0x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()()g x f x x a =++。
若()g x 存在2个零点,则a 的取值范围是( ) (A )[)1,0- (B )[)0,+∞ (C )[)1,-+∞ (D )[)1,+∞10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。
此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边,AB AC 。
ABC ∆的三边所围成的区域记为I ,黑色部分记为II ,其余部分记为III 。
在整个图形中随机取一点,此点取自I ,II ,III 的概率分别记为123,,p p p ,则( ) (A )12p p = (B )13p p = (C )23p p = (D )123p p p =+11.已知双曲线C :2213x y -=,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N 。
若OMN ∆为直角三角形,则||MN =( ) (A )32(B )3 (C )23 (D )4 12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) (A )334 (B )233 (C )324 (D )32二.填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.若,x y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,则32z x y =+的最大值为________。
14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,若21n n S a =+,则6S =_____________。
15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________种。
(用数字填写答案)16.已知函数()2sin sin 2f x x x =+,则()f x 的最小值是__________。
三.解答题(共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:60分。
17.(本小题12分)在平面四边形ABCD 中,090ADC ∠=,045A ∠=,2AB =,5BD =。
⑴求cos ADB ;⑵若22DC =,求BC 。
18.(本小题12分)如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别 为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC ∆折起,使点C 到达点P 的位置,且PF BF ⊥。
⑴证明:平面PEF ⊥平面ABFD ;⑵求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值。
19.(本小题12分)设椭圆C :2212x y +=的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于,A B 两点,点M的坐标为()2,0。
⑴当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程;⑵设O 为坐标原点,证明:OMA OMB ∠=∠。
20.(本小题12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品。
检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<,且各件产品是否为不合格品相互独立。
⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p ;⑵现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以⑴中确定的0p 作为p 的值。
已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。
①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求EX ;②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?21.(本小题12分)已知函数()1ln f x x a x x=-+。
⑴讨论()f x 的单调性;⑵若()f x 存在两个极值点12,x x ,证明:()()12122f x f x a x x -<--。
(二)选考题:共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题10分)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+。
以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=。
⑴求2C 的直角坐标方程;⑵若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程。
23.[选修4—5:不等式选讲](本小题10分)已知()|1||1|f x x ax =+--。
⑴当1a =时,求不等式()1f x >的解集;⑵若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立,求a 的取值范围。
2018年普通高等学校招生全国统一考试(I 卷)解答一.选择题 CBABD AADCA BA 二.填空题 13.6;14.63-;15.16;1617.解:⑴在ABD ∆中,由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =,故052sin 45sin ADB=,得sin ADB =。
由题设知,090ADB ∠<,所以cos ADB ==⑵由题设及⑴知,cos sin 5BDC ADB ==。
在BCD ∆中,由余弦定理得 2222cos 25BC BD DC BD DC BDC =+-⋅=,所以5BC =。
18.证明:⑴由题BF PF ⊥,BF EF ⊥,又PF EF F =,故BF ⊥平面PEF 。
又BF ⊂平面ABFD ,所以平面PEF ⊥平面ABFD ;⑵作PH EF ⊥,垂足为H 。
由⑴得,PH ⊥平面ABFD 。
以H 为坐标原点,HF 的方向为y 轴正方向,||BF 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -。
由⑴知DE PE ⊥,又2DP =,1DE =,故PE =又1PF =,2EF =,故PE PF ⊥。
可得PH =,32EH =。
则()0,0,0H,P ⎛ ⎝⎭,31,,02D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,31,2DP ⎛= ⎝⎭,且HP ⎛= ⎝⎭为平面ABFD 的法向量。
设DP 与平面ABFD 所成角为θ,则34sin ||4||||3HP DP HP DP θ⋅===⋅为所求。
19.解:⑴由已知得()1,0F,l :1x =。
由题可知()A 或()1,A ,故2AM k =±,所以AM 的方程为()22y x =±-; ⑵当l 与x 轴重合时,00OMA OMB ∠=∠=;当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以OMA OMB ∠=∠;当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l :()()10y k x k =-≠,()()1122,,,A x y B x y ,则1x <2x <,MA MB 的斜率之和为()()12121212112222MA MB k x k x y yk k x x x x --+=+=+=----()()()12121223422x x x x k x x -++⋅--。
由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +-+-=,故2122421k x x k +=+,21222221k x x k -=+,因此()2212122222423423402121k k x x x x k k --++=⋅-⋅+=++,从而0MA MB k k +=,故,MA MB 的倾斜角互补,所以OMA OMB ∠=∠。
综上,OMA OMB ∠=∠。
20.解:⑴由题可知()()1822201f p C p p =-,因此()()()1817222021181f p C p p p p ⎡⎤'=---=⎣⎦()()1722021101C p p p --。
令()0f p '=,得0.1p =。
当()0,0.1p ∈时,()0f p '>;当()0.1,1p ∈时,()0f p '<。
所以()f p 的最大值点为00.1p =;⑵由⑴知0.1p =。
①令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知()180,0.1YB ,202254025X Y Y =⋅+=+,所以()40254025490EX E Y EY =+=+=;②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元。