2018年河南省新乡市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=i8+（﹣i）17可化简为（）A．1﹣i B．0 C．1+i D．22．（5分）已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={x|a﹣1≤x＜a}，若A∩B只有一个元素，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．1或23．（5分）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m=a+b，则（）A．事件“m=2”的概率为B．事件“m＞11”的概率为C．事件“m=2”与“m≠3”互为对立事件D．事件“m是奇数”与“a=b”互为互斥事件4．（5分）点P（x，y）是如图所示的三角形区域（包括边界）内任意一点，则的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣5．（5分）已知函数f（x）=tan（φ﹣x）（＜φ＜）的图象经过原点，若f （﹣a）=，则f（a+）=（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，该几何体的体积为（）A．8﹣πB．8﹣2πC．8﹣πD．8+2π7．（5分）若log2（log3a）=log3（log4b）=log4（log2c）=1，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a8．（5分）我国明朝数学家程大位著的《算法统筹》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”以下程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为（）A．20 B．25 C．30 D．759．（5分）若函数f（x）=﹣x2+ax+2lnx在（1，2）上有最大值，则a的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（0，3） C．（3，+∞）D．（1，3）10．（5分）设k∈R，函数f（x）=sin（kx+）+k的图象为下面两个图中的一个，则函数f（x）的图象的对称轴方程为（）A．x=+（k∈Z）B．x=kx+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=kπ﹣（k∈Z）11．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M 上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．12．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，CD⊥底面ABC，AE∥CD，△ABC为正三角形，AB=CD=AE=2，三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．6πC．πD．π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）已知向量，满足||=2||=2，与的夹角为120°，则|﹣2|=．14．（5分）若双曲线的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为．15．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC中最大边所对角的余弦值为．16．（5分）已知函数f（x）=﹣，则f（log26）+f（）=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．（1）证明：a1，a5，a41成等比数列；（2）求数列{a n•3n}的前n项和T n．18．（12分）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？19．（12分）如图，几何体ABC﹣A1DC1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB=4，AA1=3，A1D=1，AA1⊥平面ABC，M为AB的中点，E为棱AA1上一点，且EM∥平面BC1D．（1）若N在棱BC上，且BN=2NC，证明：EN∥平面BC1D；（2）过A作平面BCE的垂线，垂足为O，确定O的位置（说明作法及理由），并求线段OE的长．20．（12分）已知直线l：y=2x﹣2与椭圆Ω：（m≠0）交于A，B两点．（1）求Ω的离心率；（2）若以线段AB为直径的圆C经过坐标原点，求Ω的方程及圆C的标准方程．21．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣2x﹣2）e x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当x＞0时，f（x）﹣4x+a恒成立，求a的最大值；（3）设F（x）=xf（x）+（2x﹣x2）e x，若F（x）在[t，t]的值域为[（6﹣18）e，0]，求t的取值范围．（提示：≈2.4，e≈11.6）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ（0≤θ≤）．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线C；（2）若直线（t为参数）与曲线C有公共点，求m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=|x﹣3|．（1）求不等式f（x）+f（2x）＜f（12）的解集；（2）若x1=3x3﹣x2，|x3﹣2|＞4，证明：f（x1）+f（x2）＞12．2018年河南省新乡市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=i8+（﹣i）17可化简为（）A．1﹣i B．0 C．1+i D．2【解答】解：z=i8+（﹣i）17=（i4）2+[（﹣i）4]4•（﹣i）=1﹣i．故选：A．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={x|a﹣1≤x＜a}，若A∩B只有一个元素，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【解答】解：集合A={x|x2﹣x≤0}=[0，1]，B={x|a﹣1≤x＜a}=[a﹣1，a），A∩B只有一个元素，则a=2，故选：C．3．（5分）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m=a+b，则（）A．事件“m=2”的概率为B．事件“m＞11”的概率为C．事件“m=2”与“m≠3”互为对立事件D．事件“m是奇数”与“a=b”互为互斥事件【解答】解：连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m=a+b，则事件“m=2”的概率为，故A错误；事件“m＞11”的概率为，故B错误；事件“m=2”与“m≠2”互为对立事件，故C错误；a=b时，m为偶数，故事件“m是奇数”与“a=b”互为互斥事件，故D正确；故选：D．4．（5分）点P（x，y）是如图所示的三角形区域（包括边界）内任意一点，则的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣【解答】解：的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，如图可知AO的斜率最小，A（﹣3，5），则的最小值为：﹣．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）=tan（φ﹣x）（＜φ＜）的图象经过原点，若f （﹣a）=，则f（a+）=（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．【解答】解：∵函数f（x）=tan（φ﹣x）（＜φ＜）的图象经过原点，∴tanφ=0，∴φ=π，∴f（x）=tan（φ﹣x）=﹣tanx．若f（﹣a）=﹣tan（﹣a）=tana=，则f（a+）=﹣tan（a+）=﹣=﹣3，故选：A．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，该几何体的体积为（）A．8﹣πB．8﹣2πC．8﹣πD．8+2π【解答】解：由三视图可知几何体是正方体，挖去两个半圆柱后的几何体．如图：几何体的体积为：2×2×2﹣12π×2=8﹣2π．故选：B．7．（5分）若log2（log3a）=log3（log4b）=log4（log2c）=1，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【解答】解：由log2（log3a）=1，可得log3a=2，lga=2lg3，故a=32=9，由log3（log4b）=1，可得log4b=3，lgb=3lg4，故b=43=64，由log4（log2c）=1，可得log2c=4，lgc=4lg2，故c=24=16，∴b＞c＞a．故选：D．8．（5分）我国明朝数学家程大位著的《算法统筹》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”以下程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为（）A．20 B．25 C．30 D．75【解答】解：输入n=20，m=80，s≠100，n=21，m=79，s≠100，n=22，m=78，s≠100，n=23，m=77，s≠100，n=24，m=76，s≠100，n=25，m=75，s=100，输出n=25，故选：B．9．（5分）若函数f（x）=﹣x2+ax+2lnx在（1，2）上有最大值，则a的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（0，3） C．（3，+∞）D．（1，3）【解答】解：f′（x）=﹣2x+a+=要使函数f（x）=﹣x2+ax+2lnx在（1，2）上有最大值则函数f（x）=﹣x2+ax+2lnx在（1，2）上有极大值大值即方程﹣2x2+ax+2=0又两个不等实根，且较大根在区间（1，2）∴，解得0＜a＜3故选：B．10．（5分）设k∈R，函数f（x）=sin（kx+）+k的图象为下面两个图中的一个，则函数f（x）的图象的对称轴方程为（）A．x=+（k∈Z）B．x=kx+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=kπ﹣（k∈Z）【解答】解：设k∈R，由于函数f（x）=sin（kx+）+k的最大值为1+k，最小值为k﹣1，在（1）中，由最大值为1+k=3，最小值为k﹣1=1，可得k=2，∴f（x）=sin（2x+）+2．令2x+=kπ+，可得x=•kπ+，k∈Z，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=•kπ+，k∈Z，联系图象（1），满足条件．在第（2）个图中，1+k=2，1﹣k=0，故有k=1，故f（x）=sin（x+）+1．令x+=kπ+，可得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的对称轴方程为x=kπ+，k∈Z，联系图象（2），不满足条件，故选：A．11．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M 上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，A（﹣1，0），F（1，0），点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上．设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x﹣1=0，∵m＞0，∴m=﹣2+，∴点P的横坐标为﹣2+，∴|PF|=m+1=﹣1+，∴圆F的方程为（x﹣1）2+y2=（﹣1）2，令x=0，可得y=±，∴|EF|=2=2=，故选：D．12．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，CD⊥底面ABC，AE∥CD，△ABC为正三角形，AB=CD=AE=2，三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．6πC．πD．π【解答】解：如下图所示：三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为三棱锥F﹣ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，外接圆半径为，内切圆半径为，高为1，设三棱锥的外接球的半径为R，则，解得：R=故此三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=π，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）已知向量，满足||=2||=2，与的夹角为120°，则|﹣2|=．【解答】解：∵||=2||=2，与的夹角为120°，∴，，∴|﹣2|2=，∴|﹣2|=．故答案为：．14．（5分）若双曲线的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：根据题意，双曲线的实轴长是10，即2a=10，则a=5，又由双曲线的焦点在x轴上且b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x；故答案为：y=±x．15．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC中最大边所对角的余弦值为．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：4，∴由正弦定理化简得：a：b：c=2：3：4，分别设a=2k，b=3k，c=4k，则最大角为C，∴cosC===﹣，故答案为：﹣．16．（5分）已知函数f（x）=﹣，则f（log26）+f（）=6．【解答】解：∵函数f（x）=﹣，设h（x）==，g（x）=，则g（﹣x）==﹣=﹣g（x），∴h（x）+h（﹣x）=g（x）+g（﹣x）+，﹣log26=log2，∴h（log26）+h（）=，∵（）+（）=，∴f（log26）+f（）=6．故答案为：6．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．（1）证明：a1，a5，a41成等比数列；（2）求数列{a n•3n}的前n项和T n．【解答】（1）证明：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由于a17=33，S7=49，则：，解得：a1=1，d=2，所以：a n=2n﹣1．则：a1=1，a5=9，a41=81，即：=a1•a41．所以：a1，a5，a41成等比数列．（2）解：由（1）得：a n•3n=（2n﹣1）•3n，则：+…+（2n﹣1）•3n①，则：3+…+（2n﹣1）•3n+1②①﹣②得：﹣（2n﹣1）•3n+1，整理得：．故数列的前n项和为：18．（12分）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？【解答】解：（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为：=（195+194+196+193+194+197+196+195+193+197）=195（cm），乙厂这批轮胎宽度的平均值为：=（195+196+193+192+195+194+195+192+195+193）=194（cm）．（2）甲厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，平均数为=（195+194+196+194+196+195）=195，方差为：=[（195﹣195）2+（194﹣195）2+（196﹣195）2+（194﹣195）2+（196﹣195）2+（195﹣195）2]=，乙厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，平均数为=（195+196+195+194+195+195）=195，方差为：=[（195﹣195）2+（196﹣195）2+（195﹣195）2+（194﹣195）2+（195﹣195）2+（195﹣195）2]=，∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，∴乙厂的轻裘肥马相对更好．19．（12分）如图，几何体ABC﹣A1DC1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB=4，AA1=3，A1D=1，AA1⊥平面ABC，M为AB的中点，E为棱AA1上一点，且EM∥平面BC1D．（1）若N在棱BC上，且BN=2NC，证明：EN∥平面BC1D；（2）过A作平面BCE的垂线，垂足为O，确定O的位置（说明作法及理由），并求线段OE的长．【解答】证明：（1）∵EM∥平面BC1D．EM⊂平面ABDA1，平面ABDA1∩平面BC1D=BD，∴EM∥BD；过D作DH⊥AB于H，连接CH，则CH∥C1D，则HM=﹣=，∴HM：MB=CN：NB=1：2，∴MN∥CH，即MN∥C1D，∵EM∩MN=M∴平面EMN∥平面BC1D，又∵EN⊂平面EMN，∴EN∥平面BC1D，解：（2）在线段AB上取一点F，使BF=A1D=1，则A1F∥BD，由（1）知EM∥BD，∴EM∥A1F∴AE：AA1=AM：AF=2：3．∴AE=AA1=2，取BC的中点G，连接AG，EG，过A作AO⊥EG于O，则AO⊥平面BCE，证明如下：由题意得：△ABC为等边三角形，则AG⊥BC，又由AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，又∵AG∩AA1=A，AG，AA1⊂平面AEG，∴BC⊥平面AEG，又∵AO⊂平面AEG，∴BC⊥AO，又∵EG∩BC=G，EG，BC⊂平面BCE，∴AO⊥平面BCE，由射影定理得：AE2=OE•EG，由AG=2，EG=2，∴OE=20．（12分）已知直线l：y=2x﹣2与椭圆Ω：（m≠0）交于A，B两点．（1）求Ω的离心率；（2）若以线段AB为直径的圆C经过坐标原点，求Ω的方程及圆C的标准方程．【解答】解：（1）e=====，（2）由可得17x2﹣32x+16﹣4m2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△=322﹣68（16﹣4m2）＞0，∴x1+x2=，x1x2=，由已知•=x1x2+4（x1﹣1）（x2﹣1）=5x1x2+4（x1+x2）+4=0，即5×﹣4×+4=0，解得m2=1且满足△＞0，故Ω的方程为+y2=1，设圆C的圆心为（x0，y0），则x0=（x1+x2）=，y0=2（x0﹣1）=﹣，由x1x2==，可得|AB|==，故圆C的方程为（x﹣x0）+（y﹣y0）=（）2，即（x﹣）+（y+）=．21．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣2x﹣2）e x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当x＞0时，f（x）﹣4x+a恒成立，求a的最大值；（3）设F（x）=xf（x）+（2x﹣x2）e x，若F（x）在[t，t]的值域为[（6﹣18）e，0]，求t的取值范围．（提示：≈2.4，e≈11.6）【解答】解：（1）∵f′（x）=（x2﹣4）e x，∴f′（0）=﹣4，又f（0）=﹣2，∴所求切线方程为y+2=﹣4x，即y=﹣4x﹣2．（2）当x＞0时，f（x）≥x3﹣4x+a，即a≤f（x）﹣x3+4x恒成立，设g（x）=f（x）﹣x3+4x（x＞0），g′（x）=（x2﹣4）e x﹣x2+4=（x2﹣4）（e x﹣1），当0＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增．∴g（x）min=g（2）=﹣2e2+，∴a≤﹣2e2+，a的最大值为﹣2e2+．（3）F（x）=（x3﹣3x2）e x，F′（x）=（x3﹣6x）e x，令F′（x）＜0，得x＜﹣或0＜x＜；令F′（x）＞0，得﹣＜x＜0或x＞．∴当x=±时，f（x）取得极小值，当x=0时，f（x）取得极大值．∵F（﹣）=6（﹣﹣3），F（）=（6﹣18），∴F（）＜F（﹣）＜0．令F（x）=0，得x=0或x=3．∴或，∴t∈[﹣，0]∪{}．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ（0≤θ≤）．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线C；（2）若直线（t为参数）与曲线C有公共点，求m的取值范围．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ（0≤θ≤），∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，化为标准形式是（x﹣1）2+y2=1，又0≤θ≤，∴曲线C表示圆（x﹣1）2+y2=1的，且x≥1，y≥0；∴曲线C如图所示；（2）由直线（t为参数），得y=x+m；当直线y=x+m过点（2，0）时，求得m=﹣2；当直线y=x+m过点（1，1）时，求得m=0；由数形结合求得m的取值范围是[﹣2，0]．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=|x﹣3|．（1）求不等式f（x）+f（2x）＜f（12）的解集；（2）若x1=3x3﹣x2，|x3﹣2|＞4，证明：f（x1）+f（x2）＞12．【解答】解：（1）由f（x）+f（2x）＜f（12）得|x﹣3|+|2x﹣3|＜9，故或或，解得：﹣1＜x＜5故不等式的解集是（﹣1，5）；（2）证明：∵x1=3x3﹣x2，∴x1+x2=3x3，∴f（x1）+f（x2）=|x1﹣3|+|x2﹣3|≥|x1﹣3+x2﹣3|=|3x3﹣6|=3|x3﹣2|，又|x3﹣2|＞4，∴f（x1）+f（x2）＞12．。