(探索性问题专题)例3．（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA ＝7，AB ＝4，∠ COA ＝60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．（1）求点B 的坐标； （2）当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动什么位置时，使得∠CPD ＝∠OAB ，且AB BD ＝85，求这时点P 坐标．[解析]（1）；过C 作CD ⊥OA 于A ，BE⊥OA 于E 则△OCD ≌△ABE ，四边形CDEB 为矩形∴OD ＝AE ，CD ＝BE∵OC ＝AB ＝4，∠COA ＝60°∴CD＝，OD ＝2∴CB ＝DE ＝3∴OE ＝OD＋DE ＝5又∵BE ＝CD＝∴B （5，）（2）∵∠COA ＝60°，△OCP 为等腰三角形∴△OCP 是等边三角形∴OP ＝OC ＝4∴P （4，0）即P 运动到（4，0）时，△OCP 为等腰三角形（3∵∠CPD ＝∠OAB ＝∠COP ＝60°∴∠OPC ＋∠DPA ＝120°又∵∠PDA ＋∠DPA ＝120°∴∠OPC ＝∠PDA ∵∠OCP ＝∠A ＝60° ∴△COP ∽△PAD∴OP OC AD AP =∵58BD AB =，AB ＝4 ∴BD ＝52∴AD ＝32 即 4372OP OP =-∴276OP OP -=得OP ＝1或6∴P 点坐标为（1，0）或（6，0）例6．（07山东滨州）如图1所示，在ABC △中，2A B A C ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动． （1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图2），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证明你的结论．解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形．此时点E F ，的位置分别是：①E 是BA 的中点，F 与A 重合．②BE CF ==．③E 与A 重合，F 是AC 的中点．图1 C图2B（2）在OEB △和FOC △中，135EOB FOC ∠+∠=°135EOB OEB ∠+∠=°， FOC OEB ∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，OEB FOC ∴△∽△．BE BO CO CF =∴． BE x=∵，CF y =，OB OC ===， 2(12)y x x=∴≤≤． （3）EF 与O 相切． OEB FOC∵△∽△， BE OE CO OF =∴． BE OE BO OF =∴．即BE BO OE OF=． 又45B EOF ∠=∠=∵°， BEO OEF ∴△∽△． BEO OEF ∠=∠∴． ∴点O 到AB 和EF 的距离相等． AB ∵与O 相切，∴点O 到EF 的距离等于O 的半径．EF ∴与O 相切．（三）、存在探索型例8．(2006武汉市)已知：二次函数y ＝x 2 -(m ＋1)x ＋m 的图象交x 轴于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，交y 轴正半轴于点C ，且x 12 ＋x 22 ＝10．⑴求此二次函数的解析式；⑵是否存在过点D (0，-25)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．分析与解答 ⑴依题意，得x 1x 2＝m ，x 12 ＋x 22 ＝10， ∵x 1 ＋x 2 ＝ m ＋1，∴(x 1 ＋x 2)2 -2x 1x 2 ＝10，∴(m ＋1)2 -2m ＝10，m ＝3或m ＝ -3，又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴m ＝3．∴所求抛物线的解析式为y ＝x 2 -4x ＋3．⑵假设存在过点D (0，-25)的直线与抛物线交于M (x M ，y M )、N (x N ，y N )两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．∵M 、N 两点关于点E 对称，∴y M ＋y N ＝0. 设直线MN 的解析式为：y ＝kx -25． 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25-kx y 3x 4x y 2，得x 2 -(k ＋4)x ＋211＝0，∴x M ＋x N ＝4＋k ，∴y M ＋y N ＝k (x M ＋x N )-5＝0．∴k (k ＋4)-5＝0，∴k ＝1或k ＝ -5．当k ＝-5时，方程x 2 -(k ＋4)x ＋211＝0的判别式⊿＜0，∴k ＝1，∴直线MN 的解析式为y ＝x -25．∴存在过点D (0，-25)的直线与抛物线交于M 、N 两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．例9．（2007乐山）如图（13），在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A D ，不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ．我们知道，结论“Rt Rt AEP DPC △∽△”成立．（1）当30CPD =∠时，求AE 的长；（2）是否存在这样的点P ，使D P C △的周长等于AEP △周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由． 解（1）在Rt PCD △中，由tan CD CPD PD =∠得44tan tan 30CD PD CPD ===∠ 10AP AD PD ∴=-=-由AEP DPC △∽△知AE AP PD CD =，12AP PD AE CD∴==-． （2）假设存在满足条件的点P ，设DP x =，则10AP x =-由AEP DPC △∽△知2CDAP =，4210x∴=-，解得8x =， 图（13）此时2AP =，4AE =符合题意．例12．（2007资阳）设a 1＝32－12，a 2＝52－32，…，a n ＝(2n ＋1)2－(2n －1)2 (n 为大于0的自然数)．（1） 探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2） 若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a 1，a 2，…，a n ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，a n 为完全平方数(不必说明理由) ．解：（1） ∵ a n ＝(2n ＋1)2－(2n －1)2＝224414418n n n n n ++-+-=，又 n 为非零的自然数，∴ a n 是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数 ．说明：第一步用完全平方公式展开各1分，正确化简1分．（2） 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n 为一个完全平方数的2倍时，a n 为完全平方数 ．知识巩固训练（题组训练）4．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 是⊙O 的切线，切点是C ．点D 是EF 上一个动点，连接AD ．试探索点D 运动到什么位置时，AC 是∠BAD 的平分线，请说明理由．6．（20XX 年常德市）如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，以BP •为边作∠PBQ ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．6．（1）证明△BPA≌△BQC，AP＝CQ（2）△PQC是直角三角形，∵PA：PB：PC＝3：4：5，设PA＝3k，PB＝4k，PC＝5k，∵∠PBQ＝60°，BP＝BQ，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ＝PB＝4k，在△PQC中，∵PQ2＋QC2＝（4k）2＋（3k）2＝25k2，PC2＝（5k）2＝25k2，∴PQ2＋QC2＝PC2，∴△PQC是Rt△．7．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、DC都是⊙O的切点，A、B、E分别是切点．（1）判定△COD的形状，并说明理由．（2）设AD＝a，BC＝b，⊙O的半径为r，试探究r与a，b之间满足的关系式，并说明理由．7．（1）△COD是直角三角形，连OE，由圆的切线的性质可证得：•△OAD≌△OED，△OEC ≌△OBC，∴∠AOD＝∠EOD，∠EOC＝∠BOC，可证得∠DOC ＝90°，•所以△COD是直角三角形．（2）r与a、b之间满足的关系是r2＝ab．证明△OAD∽△CBO，得OA ADBC OB=，OA·OB＝AD·BC即r2＝ab．（注意“特殊的直角梯形”）8．（20XX年绵阳市）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC•的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD•的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．8．解：（1）①BE＝DF＋EF，②BE＝DF－EF，③EF＝BE ＋DF．9．（2007云南省）已知：如图，抛物线2y ax bx c=++经过(1,0)A、(5,0)B、(0,5)C三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2若过点C的直线y kx b=+与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值；（3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．9．解：（1）∵抛物线经过点(1,0)A 、(5,0)B ， ∴(1)(5)y a x x =--．又∵抛物线经过点(0,5)C ∴55a =，1a =．∴抛物线的解析式：2(1)(5)65y x x x x =--=-+．（2）∵E 点在抛物线上，∴m ＝42–4×6＋5 ＝ －3．∵直线y ＝ kx ＋b 过点C （0， 5）、E （4， –3），∴5,4 3.b k b =⎧⎨+=-⎩解得k ＝ -2，b ＝ 5． 设直线y ＝-2x ＋5与x 轴的交点为D ，当y ＝0时，-2x ＋5＝0，解得x ＝52．∴D 点的坐标为（52，0）．∴S ＝S △BDC ＋ S △BDE＝1515(5)5+(5)32222⨯-⨯⨯-⨯＝10． （3）∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．（4）除0P 点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形．理由如下：∵004AP BP ===>，∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点B 、1P 、2P 、3P 、A 、4P 、5P 、6P ，除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点．13（07日照）如图，直线EF 将矩形纸片ABCD 分成面积相等的两部分，E 、F 分别与BC 交于点E ，与AD 交于点F （E ，F 不与顶点重合），设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝x ．(Ⅰ)求证：AF ＝EC ；(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF 剪开后，再将纸片ABEF 沿AB 对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF 的下方，使一底边重合，直腰落在边DC 的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C ．（1）求出直线EE ′分别经过原矩形的顶点A 和顶点D 时，所对应的 x︰b 的值；（2）在直线EE ′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接B E′，直线BE ′与EF 是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a 与b 满足什么关系时，它们垂直？13．解：(Ⅰ)证明：∵AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝x ，S 梯形ABEF ＝ S 梯形CDFE ． ∴21a (x ＋AF )＝21a (EC ＋b －AF )， ∴2AF ＝EC ＋(b －x )．又∵EC ＝b －x ，∴2AF ＝2EC ，即AF ＝EC ；(Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一），∵EC ∥E ′B ′， ∴B E EC''＝B D DC '．由EC ＝b －x ，E ′B ′＝EB ＝x ， DB ′＝DC ＋CB ′＝2a ， 得a a x x b 2=-，∴x ︰b ＝32；当直线E′E 经过原矩形的顶点A 时，如图（二）， 在梯形AE ′B ′D 中，∵EC ∥E ′B ′，点C 是DB ′的中点，∴CE ＝21(AD ＋ E ′B ′)， 即b －x ＝21（b ＋x ），∴x ︰b ＝31．（2） 如图（一）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点D 时，BE ′∥EF ．证明：连接BF ．∵FD ∥BE ， FD ＝BE ，∴四边形FBED 是平行四边形， ∴FB ∥DE ， FB ＝DE ，又∵EC ∥E ′B ′， 点C 是DB ′的中点，∴DE ＝EE ′，∴FB ∥EE ′， FB ＝ EE ′，∴四边形BE ′EF 是平行四边形∴BE ′∥EF ．如图（二）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点A 时，显然BE ′与EF 不平行，设直线EF 与BE′交于点G .过点E ′作E ′M ⊥BC 于M ， 则E ′M ＝a .．∵x ︰b ＝31，∴EM ＝31BC ＝31b ． 若BE′与EF 垂直，则有∠GBE ＋∠BEG ＝90°，又∵∠BEG ＝∠FEC ＝∠MEE ′，∠MEE ′＋∠ME ′E ＝90°，∴∠GBE ＝∠ME ′E ．在Rt △BME ′中，tan ∠E ′BM ＝ tan ∠GBE ＝BM M E '＝b a 32． 在Rt △EME ′中，tan ∠ME ′E ＝M E EM '＝a b 31，∴b a 32＝a b 31． 又∵a ＞0，b ＞0，=b a 32，∴当=b a 32时，BE′与EF 垂直．17．(2006江苏泰州市)如图2－2－5，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律_2)1n (n -＋2)1n (n +＝n 2或1＋2＋…＋(n -1)＋1＋2＋…＋n ＝n 2______．19．（2007内江）如图（11），某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置A 出发沿街道行进到达位置B ，要求路程最短，研究共有多少种不同的走法．小东是这样想的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用用数字“1”表示向右行进，数字“2”表示向上行进，图2-2-5…… ……211= 2363+= 26104+= 2132+=那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你思考后回答：符合要求的不同走法共有____10____种．20．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a =________，n a =________；（2）如果欲求232013333+++++的值，可令232013333S =+++++ 将①式两边同乘以3，得_______________________由②减去①式，得S =____________________．（3）用由特殊到一般的方法知：若数列123n a a a a ，，，，，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，则n a =________（用含1a q n ，，的代数式表示），如果这个常数1q ≠，那么123n a a a a ++++=________（用含1a q n ，，的代数式表示）．20．解：（1）2； 218； 2n ；（2）3S ＝3＋32＋33＋34＋…＋321； S ＝)13(2121-； （3）a 1q n －1； 1)1(1--q q a n ．B 图（11） A28．（07山东东营）根据以下10个乘积，回答问题：11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明）28．⑴11×29＝202－92；12×28＝202－82；13×27＝202－72；14×26＝202－62；15×25＝202－52；16×24＝202－42；17×23＝202－32；18×22＝202－22；19×21＝202－12；20×20＝202－02．例如，11×29；假设11×29＝□2－○2，因为□2－○2＝（□＋○）（□－○）；所以，可以令□－○＝11，□＋○＝29．解得，□＝20，○＝9．故229202911-=⨯．（或11×29＝（20－9）（20＋9）＝202－92 ．⑵ 这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：1129122813271426⨯<⨯<⨯<⨯<152516241723⨯<⨯<⨯<182219212020⨯<⨯<⨯．⑶ ① 若40=+b a ，a ，b 是自然数，则ab ≤202＝400．②若a＋b＝40，则ab≤202＝400．③若a＋b＝m，a，b是自然数，则ab≤22m⎛⎫⎪⎝⎭．④若a＋b＝m，则ab≤22m⎛⎫⎪⎝⎭．⑤若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝a n＋b n＝40．且| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| a n－b n|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n．⑥若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝a n＋b n＝m．且| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| a n－b n|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n．。