清华大学经济管理学院计量经济学期末试题及答案（2002 年）（2 小时，开卷，满分 100 分）⒈（共 40 分，每小题 4 分）建立中国居民消费函数模型C t = α0 + α1 I t + α 2C t −1 + ε tε t ~ N (0,σ 2 )t=1978,1979,…,2001其中 C 表示居民消费总额， I 表示居民收入总额。

⑴ 能否用历年的人均消费额和人均收入数据为样本观测值估计模型？为什么？⑵ 人们一般选择用当年价格统计的居民消费总额和居民收入总额作为样本观测值，为什 么？这样是否违反样本数据可比性原则？为什么？⑶ 如果用矩阵方程 Y = X Β + Ε 表示该模型，写出每个矩阵的具体内容，并标明阶数；⑷ 如果所有古典假设都满足，分别从最小二乘原理和矩方法出发，推导出关于参数估计量的正规方程组；⑸ 如果 C t −1 与 I t 存在共线性，证明：当去掉变量 C t −1 以消除共线性时，α1 的估计结果将发生变化；⑹ 如果模型中 C t −1 为随机解释变量且与 ε t 相关，证明：如果用 OLS 估计该消费函数模型，其参数估计量是有偏的；⑺ 如果模型中 C t −1 为随机解释变量且与 ε t 相关，选择政府消费 G t 为 C t −1 的工具变量（ G t满足工具变量的所有条件），写出关于参数估计量的正规方程组；⑻ 如果经检验表明模型存在一阶序列相关，而需要采用广义差分法估计模型，指出在常用的软件中是如何实现的？⑼ 在不受到限制的情况下， C t 的值域为 (0, ∞) ，写出 C t 的对数似然函数；⑽ 试分析，以 t=1978,1979,…,2001 数据为样本观测值，能否说“样本是从母体中随机抽取的”？那么采用 OLS 估计模型参数，估计结果是否存在偏误？为什么？ 答：⑴ 不可以。

因为历年的人均消费额和人均收入并不是从居民消费总额和居民收入总额的总体中随机抽取的样本，违背了样本与母体的一致性。

⑵ 因为历年的居民消费总额和居民收入总额具有大致相同的“价格”指数，是否将它们 转换为不变价数据并不重要，不影响数据在样本点之间的可比性。

⑶ Y = X Β + Ε其中C1 ICα 0 ε197819781978 1977εC 1979X = 1I 1979C19781979 Y =MMMΒ = α1Ε =MMI Cα 2εC200112001 20003⋅1 2001 24⋅124⋅324⋅1⑷ 从最小二乘原理出发，推导关于参数估计量的正规方程组：n′ˆ′ˆ2Q =∑ e i= e e =(Y − X ) (Y − X )i =1∂ˆˆ∂β∂∂βˆ(Y′Y−βˆ′X′Y−Y′Xβˆ+βˆ′X′Xβˆ) = 0∂∂βˆ(Y′Y− 2Y′Xβˆ+βˆ′X′Xβˆ) = 0− X′Y + X′Xβˆ=0X′Y = X′Xβˆ从矩方法出发，推导关于参数估计量的正规方程组：X′Y = X′Xβ+ X′μX′(Y − Xβ)= X′μE(X′(Y−Xβ)=0(X′X)βˆ= X′Y⑸ 从矩方法出发推导关于参数估计量的正规方程组的第一步可以写成：∑ C t=∑(α0+α1 I t+α2C t−1+εt)t t∑ I t C t=∑ I t(α0+α1 I t+α2C t−1+εt)t t∑C t −1C t =∑C t −1(α0+α1I t +α2C t −1+ε t )t t导出的方程组为：∑ C t=∑(αˆ0+αˆ1 I t+αˆ2C t−1)t t∑ I t C t=∑ I t(αˆ0+αˆ1 I t+αˆ2C t−1)t t∑C t −1C t =∑C t −1(αˆ0+αˆ1I t +αˆ2C t −1)t t当去掉变量 C t−1，构成一个一元模型，其关于参数估计量的正规方程组为∑ C t=∑(α0+α1 I t+εt)t t∑ I t C t=∑ I t(α0+α1 I t+εt)t t由于 C t−1与 I t存在共线性，上式第2个方程中缺少的 C t−1与 I t乘积项不为0，所以去掉该项会影响方程组的解，使得α1的估计结果将发生变化。

⑹如果模型中 C t−1为随机解释变量且与εt相关，上述方程组中的第3个方程非齐次。

而用OLS 估计该消费函数模型，认为正规方程组是齐次方程组，所以其参数估计量是有偏的。

⑺选择政府消费 G t为 C t−1的工具变量，得到关于参数估计量的正规方程组为：∑ C t=∑(αˆ0+αˆ1 I t+αˆ2C t−1)t t∑ I t C t=∑ I t(αˆ0+αˆ1 I t+αˆ2C t−1)t t∑G t C t=∑G t(αˆ0+αˆ1 I t+αˆ2C t−1)t t⑻在解释变量中增加 AR(1)。

⑼C t的对数似然函数为L*= Ln(L)=−nLn( 2π σ ) −2σ12 (Y−Xβˆ)′ (Y−Xβˆ)⑽严格地，不能说“样本是从母体中随机抽取的”，因为 C t的值域为(0,∞)，而实际的样本观测值集中于某一区域。

那么采用 OLS 估计模型参数，估计结果是存在偏误的，因为样本实际上是选择性的。

⒉（共 20 分，每小题 5 分）下列为一完备的联立方程计量经济模型C t=α0+α1Y t+α2C t−1+μ1tI t=β0+β1Y t+μ2tY t= C t+ I t+ G t其中 C 为居民消费总额、I 为投资总额、Y 为国内生产总值、G t为政府消费总额，样本取自1978—2000 年。

⑴说明：对于消费方程，用 IV、ILS、2SLS 方法分别估计，参数估计结果是等价的。

⑵说明：对于投资方程，能否用 IV、ILS 方法估计？为什么？⑶对于该联立方程计量经济模型，如果采用 2SLS 估计指出其优缺点。

⑷如果该模型的每个结构方程的随机项具有同方差性和序列不相关性，而不同结构方程的随机项之间具有同期相关性。

写出它们的方差协方差矩阵。

答：⑴因为消费方程是恰好识别的结构方程，用 IV、ILS、2SLS 方法分别估计，都可以看成为工具变量方法，而且都以所有先决变量的结合为工具变量，所以参数估计结果是等价的。

⑵ 投资方程是过度识别的结构方程，所以不能用 IV 、ILS 方法估计。

如果用 IV 、ILS 方法估计，会得到多组不同的参数估计结果。

⑶ 2SLS 估计的优点是：既适用于恰好识别的消费方程，又适用于过度识别的投资方程；由于第一阶段采用所有先决变量作为解释变量，所以在分别估计消费方程和投资方程时，都利用了所有先决变量的信息；克服了每个方程中内生解释变量 Y t 与随机项相关的问题。

缺 点是没有利用方程之间相关性信息，对于该模型系统，消费方程和投资方程的随机项显然是相关的。

⑷Cov (μ12I σ12 I, μ2 ) = σ1σ21Iσ 2I2n ⋅2n2⒊（共 30 分，每小题 5 分）简单回答以下问题：⑴ 分别指出两要素 C-D 生产函数、两要素一级 CES 生产函数和 VES 生产函数关于要素替代弹性的假设。

⑵ 在一篇博士论文中设计的生产函数模型为：k− ρ− 1−αρ− (1−α ) ρρY t K t L t +∑ δ i G it= δ 0i =1其中，Y 为产出量，K 、L 为资本和劳动投入量， G i 为第 i 种能源投入量，其它为参数。

试指出该理论模型设计的主要问题，并给出正确的模型设计。

⑶ 建立城镇居民食品类需求函数模型如下：Ln (V ) = β0 + β1 Ln (Y ) + β 2 Ln (P 1 ) + β3 Ln (P 2 ) + μ其中 V 为人均购买食品支出额、Y 为人均收入、 P 1 为食品类价格、 P 2 为其它商品类价格。

拟定每个参数的数值范围，并指出参数之间必须满足的关系。

⑷ 指出在实际建立模型时虚变量的主要用途。

⑸ 两位研究者分别建立如下的中国居民消费函数模型C t = α0 + α1 I t + α 2C t −1 + ε tε t ~ N (0,σ 2 )和 C t = α0 + α1 I t + ε tε t ~ N (0,σ 2 )其中 C 表示居民消费总额， I 表示居民收入总额。

由相同的样本和相同的估计方法，得到了不同的居民边际消费倾向估计值。

如何解释这种现象？由此指出经典计量经济学模型的缺点。

⑹ 从经典计量经济学模型设定理论出发，在建立中国宏观计量经济模型时，一般应该如何对第三产业的生产方程进行分解，并指出其理由。

答：⑴ C-D 生产函数的要素替代弹性始终为 1，不随着研究对象、样本区间而变化，当然也不随着样本点而变化；两要素一级 CES 生产函数模型对要素替代弹性的假设为：随着研究对象、样本区间而变化，但是不随着样本点而变化； VES 生产函数的要素替代弹性除了随着研究对象、样本区间而变化外，还随着样本点而变化。

⑵在该模型中，将 K 和 L 首先组合成为一个组合要素：y klt= K tα L1t−α然后，将该组合要素 y kl与每种能源投入量 G i一起，建立多要素一级CES生产函数。

那么，其假设是 y kl与 G i以及 G i之间具有相同的替代弹性，这显然是错误的。

各种能源之间，例如煤炭和石油具有很强的替代性，而每种能源与 y kl之间的替代性显然要差得多。

应该采用多级 CES 生产函数。

例如第一级包含两个函数：yklt=f ( K t, L t)y Gt= g (G 1, G 2,L)第二级为：Y t= A (δ1 y klt−ρ+δ2 y Gt−ρ)−m ρ⑶ 参数β1、β2、β3估计量的经济意义分别为人均收入、食品类价格、其它商品类价格的需求弹性；由于食品为必须品，V为人均购买食品支出额，所以β1应该在 0 与 1 之间，β2应该在 0 与 1 之间，β3在 0 左右，三者之和为 1 左右。

⑷ 在实际建立模型时虚变量主要用于表示定性变量，例如政策变量、条件变量等。

例如建立我国粮食生产模型，联产承包制度的实施对粮食产量影响很大，可以作为一个虚变量引入模型，实行该制度的年份取值为 1，其它年份取值为 0。

⑸ 由于两位研究者依据不同的消费理论，建立了不同的消费模型。

前者依据相对收入假设，后者依据绝对收入假设。

同时，由于 I t和 C t−1之间存在一定程度的线性关系，所以两个模型得到了不同的居民边际消费倾向α1的估计值。

这反映了经典计量经济学模型的理论导向所存在的任意性，不同的人对行为理论理解不同，就可能建立不同的模型。

⑹ 由于第三产业内部包括许多部门，不同的部门差异很大，很难发现能够对所有主要部门的产出水平起解释作用的共同变量；另外，由于第三产业内部部门之间的结构处于变化之中，所有建立单一模型缺少结构性功能。