lh 2 3EI
w 1 3EI m11 mlh2
15
例6
k11
k11
解：求 k
3EI
3EI
m
k l3
1
k
EI
k11 k l 3
l
w k11 3EI l3 k
m
m
•对于静定结构一般计算柔度系数方便。
•如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点
都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方
(1
1
2
w
2)
sint
yst
F
mw
217
F
最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生 的位移）。
特解可写为：
y
yst
1
1
2
w
2
sint
通解可写为：
y
C1sinwt C2
coswt
yst
1
1
2
w
2
sint
设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：
w C1 yst 1 2 w 2 ,
个最（便3于）计两算个来外选形用相。似的结构，如果周期相差悬殊，则动力
性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果
其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致1。1
例1：图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三则者的自振频率。
m
l/2
l/2
解：1）求δ
l
3EI/h2
6EI/h2
k
w k 15EI
m mh3
3EI/h3
12EI/h3
13
例3
m
l/3 2l/3
4l
1
27
l
l
19
3
例4
l
2l
11
1 EI
l 3 (2 l 4l l l ) 5l3 6 3 27 3 9 4374EI
27
w 1 4374EI
m11
5m l3
l
2
1
m
l/2
11
1 EI
动荷载：大小、方向或位置随时间而变，而且变得很快 静荷载：大小、方向或位置不随时间而变，或变得很慢
衡量荷载变化快慢的标准是结构的自振频率。
•与静力计算的区别。两者都是建立平衡方程，但动 力计 算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中 包含 了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函 数。 建立的方程是微分方程。
m m W D st
一些其重中要δ—性—质是：沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质
点与上外k（—沿界—1振的）使动干自质方扰振点向因周沿加素期振单无与动位关且方荷。只向载干与发使扰结生质力构单点只的位沿影质位振响量移动振和时方幅结，向构a须所。的在产刚质生点度点W的的有上是位重关沿质移力，振。动
❖结 构 动 力 计 算 的 特 点 和 内 容 ❖单自由度体系的自由振动和强迫振动 ❖多自由度体系的自由振动和强迫振动 ❖无 限 自 由 度 体 系 的 自 由 度 振 动 ❖近 似 法 求 自 振 频 率 ❖矩 阵 位 移 法 求 自 振 频 率
1
§14-1 动力计算概述
1、结构动力计算的特点和内容 •动荷载与静荷载的区别
.y. w2 y F(t) (14 11)
m
单自由度体系强迫
y
振动的微分方程
ky
m
F(t )
1、简谐荷载
y..w
2
y
F m
sin
t
特解：y Asin t
my..
2(Asi2nwt2w)A2 Asisnint tFFsisnint t
mm
A
m(
F
2 w
2
)
y
mw
2
F
(1
2
w 2 ) sint yst
方向（施2加）的自力振。周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期 越大Δst（=W频δ率——于在小质）点；上自沿振振周动期方与向刚施度加的数平值方为根W成的反荷比载，时刚质度 点越沿大振，动周方期向越所小产（生频的率位于移大。）；要改变结构的自振周期，只
有从计改算变时结可构根的据质体量系或的刚具度体着情手况。，视δ、 k、 Δst 三则中哪一
3
3、动力计算中体系的自由度
确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为 体系的振动自由度。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由 度体系。计算困难，常作简化如下：
1）集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一 个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。
m m>>m梁
m +αm梁
192EI
1.552 20 103 5 43
192 90 105
5.75103 m
M max
1 (F)l
4
1 1.552 20 4 31.04kN.m 4
20
例14-3 有一简支梁（II2282bb），惯性矩I=73458700ccmm44，截面系数
W=533245cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量
于是近似设变形曲线为:
y(x)
n k 1
ak
sin
kx
l
n个自由度体系
6
几点注意： 1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集
中质量数，可能比它多，也可能比它少。
2）体系的自由度与其超静定次数无关。 3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。 4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度， 动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。
三个自由度体系
m+αm柱
I 厂房排架水平振动 I 2I
时的计算简图
单自由度体系
4
v(t) u(t)
θ(t)
三个自由度
三个自由度
水平振动时的计算体系
构架式基础顶板简化成刚性块
多自由度体系
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
5
x
2）广义坐标法 将无限自由度体系化成 有限自由度体系的另一种方法假设振动曲线 y(x)
my.. ky 0........a( )
y(t)
k m y(t) my..
m
2、柔度法
从位移协调角度建立的
自由振动微分方程
k
取振动体系为研究对象，
惯性力：fI my.. δ=1/k
y ky m
my..
y fI (my..) .......( b)
8
二、自由振动微分方程的解
m.y. ky 0 (a) y..w 2 y 0 (w k )
便。
两端刚结的杆的侧移刚度为：
12EI l3
3EI
一端铰结的杆的侧移刚度为： l 3 16
§14-3 单自由度体系的强迫振动
强迫振动（受迫振动）：结构在荷载作用下的振动
弹性力－ky、惯性力 m.y.
y(t)
和荷载F(t)之间的平衡方程为:
k
m
m
F(t ) F(t )
m.y. ky F(t)......(a)
F(t )
F
t
t
简谐荷载（按正余弦规律变化）
一般周期荷载
2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。θt （如爆炸荷载）
F
F(t )
F
F
偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ
tr
惯水性平力分量:F=均m为tθ简2e,谐其荷竖tr 载向.分量和
t
3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无 法事先确定。（如地震荷载、风荷载）
•动力计算的内容。研究结构在动荷载作用下的动力反应 的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素： 结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型。（自由振动） 荷载的变化规律及其动力反应。 （强迫振动） 2、动荷载分类。按起变化规律及其作用特点可分为： 1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力2）
m
y(t )C1sinwt C2 coswt
y(t)
y0
T
y.(0) v0 y(0) y0
C1
v0
w
C2 y0
－y0
y(t )
y(t
)
y0
coswt
v0
w
sin
wt
v0/ω
y(t )asin(wt a )
－v0a/ω
T
α/ω
－a
t
t
t
9
y(t )asin(wt a)asina coswt acosa sinwt
7
§14-2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系动 ①具有实际应用价值，或进行初步的估算。 力分析的重要性 ②多自由度体系动力分析的基础。
自由振动(固有振动)：振动过程中没有干扰力作用，振动 是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。
一、自由振动微分方程的建立（依据原理：达朗伯原理）
1、刚度法 从力系平衡角度建立的自由振动微分方程
(
1 2
l 2
l 2
2 3
l 2
1 2
l 2
l
l 2
2 3
)
l3 8EI
w
1
m11
8EI ml3
14
例5 1
k Am
h
I=∞ EI
B
θ
1
1
h
解法1：求 k θ=1/h
MBA=kh
=
MBC
3
EI l
3EI lh