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概 率
学生： 任课教师：孔伟铭
第十三章 概 率 (1)
公式定理及常见规律.............................................................................................................................1 13.1 概率................................................................................................................................................1 13.2 随机变量及其分布 (4)
公式定理及常见规律
13.1 概率
1.随机事件的两个特征
（1）试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个. （2）每一个试验的结果出现的可能性相同.
2.随机事件的概率
随机事件的概率的取值范围是.
0()P A ≤≤1若事件A 为必然事件，则；若事件()1P A =A 为不可能时间，则()0P A =.
3.古典概型
在古典概型中，事件的概率为()m
P A n
=. 利用此公式关键是求试验的基本事件总数及事件n A 所包含的基本事件个数.
m （1）如果基本事件的个数比较少，可用列举法把基本事件一一列出，列举时应按某种规律一一列举，做到不重不漏，可借助于树状图、表格、坐标系等.
（2）基本事件个数比较多，可以借助两个计数原理及排列组合知识直接计算、n ，再运用公式求解. m
4.几何概型
在几何概型中，事件A 的概率计算公式为
()A P A =
事件的度量
基本事件的度量
.
解几何概率问题的步骤如下：
（1）把样本空间和所求概率的事件使用关系式表示出来. 样本空间具有明显的几何意义. 样本点所在的几何区域有的题目中已给出. 若样本点所在的几何区域题目中没有直接给出，找出它们成为解这类几何概率题的关键，具体步骤是：
①根据题设引入适当变量；
②利用所引进的变量，把题设中的有关条件转化成变量所满足的代数条件；
第十三章概率2
③根据所得到的代数条件找出相应的几何区域. （2）在坐标系中把几何图形画出来.
（3）把样本空间和所求概率的事件所在的几何图形的度量（就是如前所说的长度、面积或者体积）求出来，然后代入公式即可.
5.互斥事件
A B +或A B ∪，表明“A 与至少有一个发生”，叫做B A 与的和（并）. B （1）互斥事件A 、分别发生的概率的和B ()()()P A B P A P B +=+，其中. ()0P AB =（2）个互斥事件分别发生的概率的和n 1212()()()n n ()P A A A P A P A P A +++=+++ . （3）求复杂互斥事件的概率的方法：
①直接求解法，即将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，然后利用互斥事件的求和公式计算；
②间接求法，即先求出此事件的对立事件的概率，再用公式()1()P A P =−A 求解，特别是求解“至少”或“至多”类型的概率问题.
注：当A 、B 不互斥（即相容）时，事件A B +的概率计算公式为()()()()P A B P A P B P AB +=+−.
3
6.对立事件
事件A 与它的对立事件A 的概率和为1，即()(1P A P A +=，在求解“至少”或“至多”类型的概率问题时常用此关系. 练习
（1）下列各组事件中，对立事件是（ ）. 【参考答案：C】
A．从50件产品中（其中有两件是废品），抽出2件产品，其中恰有一件是废品与两件是废品 B．从1、2、3、4这四个数字中任取3个组成三位数，这个三位数大于234与这个三位数小于324 C．抛掷一粒骰子，出现奇数点与出现偶数点 D．抛掷两枚硬币，都是正面与都是反面
7.独立事件
A 发生与否对发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.
B A B ⋅或A B ∩，表示“A 与同时发生”，叫做B A 与的积. B （1）独立事件A 、同时发生的概率B ()()()P A B P A P B ⋅=⋅.
（2）个独立事件同时发生的概率n 1212()()()n n ()P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ .
设A 、为两个事件，如果B ()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件相互独立. 如果事件B A 与事件相互独立，则B A 与B ，A 与，B A 与B 也都相互独立. 练习
（1）甲、乙两人独立地解同一个问题，甲解决这个问题的概率为，乙解决这个问题的概率为，1p 2p 那么两人都没能解决这个问题的概率是（ ）. 【参考答案：C】 A．
B．
C．
D．
12p p −−22121p p −1211p p p p −−+121(1)(1)p p −−−
8.条件概率
（1）设A 、为两个事件，且，则在事件B ()0P A >A 发生的条件下，事件发生的概率
B ()()
()
P AB P B A P A =
. 特别地，对于古典概型，由于组成事件A 的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率也可表示为()()
()
n AB n A P B A =
. （2）若，则C B =∅∩()()()P B C A P B A P C A =+∪. （3）若A 、为两个独立事件，则B ()()P B A P B =.
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第十三章概率4
13.2 随机变量及其分布
1.离散型随机变量ξ的分布列
若离散型随机变量ξ可能取的值为、、…、、…、，相应的概率为、、…、、…、
，即1X 2X i X n X 1p 2p i p n p ()i i P X ξ==p ，则随机变量ξ的分布列为
ξ
1X 2X … i X … n X P
1p
2p
…
i p
…
n p
2.离散型随机变量ξ的分布列的性质
（1），； 0i p ≥1,2,i = （2）.
121n p p p +++=
3.两点分布（0-1分布）
如果随机变量ξ的分布列为
ξ
0 1 P
1p
−p
就称ξ服从两点分布，而称(1)P
P ξ==为成功概率.
4.独立重复试验与二项分布
n 次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率为，此时称随机变量k ()(1)k k n k n P k C p p ξ−==−ξ
服从二项分布，记作(,)B n p ξ∼. 5.二项分布的识别方法
（1）只有两个可能结果A 和A ，试验可次独立重复，则次试验n n A 发生的次数ξ就服从二项分布. （2）凡是服从二项分布的随机变量一定只取有限个实数为其值，否则，随机变量不服从二项分布. （3）凡服从二项分布的随机变量在被看作观察次试验中某事件发生的次数时，此事件在每次观察中出现的概率相等，否则不服从二项分布.
n
6.解二项分布问题时的注意事项
（1）注意区分“恰有次发生”（概率为k (1)k k
n k n C p p −−）和“某指定的次发生，其余次的试验则
不发生” （概率为）.
k (1p )k n p −−k （2）注意区分“A 恰好发生次”（概率为k (1)k k n k n C p p −−）和“A 恰好发生次，且最后一次是事件k A 发生”（概率为）. 11
1)k k n k n C p
p p −−−−(1−
7.超几何分布
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在含有M 件次品的件产品中，任取件，其中恰有N n ξ件次品的概率为：()k n k M N M
n
N
C C C ξ−−⋅==P k ，称离散型随机变量服从超几何分布. X
8.离散型随机变量ξ的均值（数学期望）
若离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
1X 2X … i X … n X P
1p
2p
…
i p
…
n
p
则ξ的数学期望为：.
1122n n E x p x p x p ξ=+++ 9.离散型随机变量ξ的方差
221122()()()n n 2D x E p x E p x E p ξξξξ=−⋅+−⋅++−⋅ .
10.离散型随机变量ξ的数学期望、方差公式
（1）设、b 为常数，则a ()E a b aE b ξξ+=+，2()D a b a D ξξ+=. （2）若ξ服从分布，则01−E p ξ=，(1)D p p ξ=−. （3）若(,)B n p ξ∼，则E np ξ=，(1)D np p ξ=−.
（4）若ξ服从几何分布，且1()(,)k P k g k p q p ξ−===，则1E p ξ=
，2q
D p
ξ=，其中. 1q p =−（5）若ξ服从超几何分布，且()k n k
M N M
n
N
C C P k C ξ−−==，则M E n N ξ=，22()()
D
E E ξξξ=−. 练习
（1）已知随机变量ξ服从二项分布，且 2.4E ξ=， 1.44D ξ=，则二项分布的参数的值为
（ ）. ,n p 【参考答案：B】 A．
B．
C．4,0.6n p ==6,0.4n p ==8,0.3n p ==
D．
24,0.1n p ==
11.方差与期望的关系
22()D E E ξξξ=−.
12.标准差
σξ=。