概率知识要点
一、随机事件的概率
1 事件的有关概念
（1）必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。

简称必然事件
（2）不可能事件：把在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。

简称不可能事件
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。

（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件。

简称随机事件
（5）事件及其表示方法：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A 、B 、C,…,表示 2 随机试验
对于随机事件，知道它的发生可能性大小是非常重要的，要了解随机事件发生的可能性大小，最直接的方法就是试验
一个试验如果满足下述条件：
（1）试验可以在相同的情形下重复进行；
（2）试验的所有结果是明确可知的，但不止一个；
（3）每次试验总是出现这些结果中的一个， 但是一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果
我们称这样的试验为随机试验 3 频数、频率和概率
（1）频数：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数。

（2）频率：在相同条件S 下重复n 次试验，时间A 出现的比例n
n A f A
n =
)(称为事件A 出现的频率
（3）概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 定义
符号表示
包含关系 对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ）
()B A A B ⊆⊇
相等关系
若B A A B ⊇⊇且，则称事件A 与事件B 相等
A=B
并事件（和事件） 某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生。

)(B A B A +或Y 交事件（积事件） 某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生。

)(AB B A 或I
5 互斥事件与对立事件
（1）互斥 事件A 与事件B 互斥：B A I 为不可能事件，即∅=B A I ，即事件A 与事件B 在任何一次试验中并不会同时发生。

（2）对立 事件A 与事件B 互为对立事件：B A I 为不可能事件，B A Y 为必然事件，即事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。

6 概率的几个基本性质
（1）1)(0≤≤A P A P ）的取值范围：（概率.
（2）必然事件E 的概率为1 ，即1)(=E P . （3）不可能事件F 的概率为0. 即 0)(=F P .
（4）若事件A 与事件B 互斥时，P(A Y B)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。

（5）事件B 与事件A 互为对立事件，则A Y B 为必然事件， 所以P(A Y B)=P(A)+P(B)=1， 从而P(A)=1 - P(B)
二、古典概型
1、古典概型的概念 （1）基本事件
一次试验中可能出现的每一个结果陈为一个基本事件 （2）基本事件的特点
①任何两个基本事件都是互斥的，一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件。

②基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和
（3）古典概型的定义
①试验中所以可能出现的基本事件只有有限个 ②每个基本事件出现的可能性相等
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，检查古典概型。

古典概型是一种特殊的概率模型，其特征有两个：①有限性；②等可能性 2、古典概型的概率计算公式
一般地，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件发生的概率都是n
1，如果事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 发生的概率n
m
A A P ==
总的基本事件个数包含的基本事件个数)(
三、几何概型
1、基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式： ）
的总测度（面积或体积试验的全部结果所构成的测度（面积或体积）
构成事件A A P =)(
（3）几何概型的特点：
①无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； ②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等
四、条件概率与相互独立事件同时发生的概率
1、条件概率
(1)条件概率的定义：设A,B 为两个事件，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率记作)(A B P ,读作“A 发生的条件下B 的概率”
注意：已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求)(A B P 相当于把A 看做新
的基本事件空间来计算AB 发生的概率，即)()()
()()
()
()()()(A P AB P n A n n AB n A n AB n A B P =ΩΩ==
(2)条件概率的性质 ①1)(0≤≤A B P
②如果B 和C 事两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P +=Y
2、事件的独立性 （1）相互独立事件
设A,B 为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B 相互独立。

事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即)(A B P =P(B),这是我们称两个事件A,B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。

一般地，当事件A,B 相互独立时，A 与B ,A 与B, A 与B 也都相互独立
3、独立重复试验
（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中某事件发生的概率均相等。

（2）在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中事件A 发生的概率为p ，
那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为k
n k k n p p C k X P --==)1()(，
k=1,2,…,n。