1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分） 填表：解：见上表二．（本题满分9分）1．求（-1+i)20展开式中第15项的数值; 2．求3cos 2xy =的导数解：1.第15项T 15=.38760)()1(6201461420-=-=-C i C 2..32sin 31)3(3sin 3cos 2)3)(cos 3(cos 2x x x x x xy -='-='=' 三．（本题满分9分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形1．;0436323112=-y x Y2．⎩⎨⎧φ=φ+=.sin 2,cos 1y x解：1.得2x-3y-6=0图形是直线2.化为,14)1(22=+-y x 图形是椭圆四．（本题满分12分）已知圆锥体的底面半径为R ，高为H求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h （如图）解：设圆柱体半径为r 高为h由△ACD ∽△AOB 得.RrH h H =- 由此得),(h H HR r -=圆柱体体积.)()(2222h h H HR h r h V -π=π= 由题意，H ＞h ＞0，利用均值不等式，有.)(,3,,2.274274224232222最大时因此当时上式取等号当原式h V H h h h H H R H H R h h H h H H R ==-π=⋅π⋅≤⋅-⋅-⋅π⋅=（注：原“解一”对h 求导由驻点解得）五．（本题满分15分）的大小与比较设|)1(log ||)1(log |,1,0,10x x a a x a a +-≠><<（要写出比较过程）A2R解一：当a >1时，.|)1(log ||)1(log |,1,0,10.|)1(log ||)1(log |,0)1(log ,110 ,10).1(log |)1(log ||)1(log |),1(log |)1(log |),1(log |)1(log |,10.|)1(log ||)1(log |,0)1(log ,110,1).1(log )]1(log )1([log |)1(log ||)1(log |),1(log |)1(log |),1(log |)1(log |222222x x a a x x x x x a x x x x x x x a x x x x a x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +>-≠><<+>-∴>-∴<-<<<-=+--+-=+-=-<<+>-∴>--∴<-<>--=++--=+--+=+--=-总有时因此当时当ΘΘ解二：|)1(log |)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |1x x x x x x a a a a -=+-=+-+Θ,110,11<-<>+x x Θ|)1(log ||)1(log |,1|)1(log ||)1(log |,10)1(log ,110,11)1(log 111log 11log )1(log 212212111x x x x x x x x xx x x a a a a x x x x x +>-∴>+->∴<-<-<>+--=-+=-=--=+++++即原式原式Θ 六．（本题满分16分）如图：已知锐角∠AOB=2α内有动点P ，PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，且四边形PMON 的面积等于常数c 2今以O 为极点，∠AOB 的角平分线OX 为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线解：设P 的极点坐标为（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，AOM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ), ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ), 四边形PMON 的面积.2sin 2.2sin 2)sin (cos sin ,cos .2sin 22cos 2cos 2sin 2)](2sin )(2[sin 4)]sin()cos()sin()[cos(2:,)]sin()cos()sin()[cos(221212222222222222222α=-α=θ-θρθρ=θρ=α=θρ=θαρ=θ+α+θ-αρ=θ+αθ+α+θ-αθ-αρθ+αθ+α+θ-αθ-αρ=⋅+⋅=c y x c y x c c c c P PN ON PM OM S 即为化为直角坐标方程上式用即用和差化积公式化简得用倍角公式化简得的轨迹的极坐标方程是动点依题意这个方程表示双曲线由题意，动点P 的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB 内的一部分七．（本题满分16分）已知空间四边形ABCD 中AB=BC ，CD=DA ，M ，N ，P ，Q 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点（如图）求证MNPQ 是一个矩形证：连结AC ，在△ABC 中，∵AM=MB ，CN=NB ，∴MN ∥AC 在△ADC 中，∵AQ=QD ，CP=PD ， ∴QP ∥AC ∴MN ∥QPBP C同理，连结BD 可证MQ ∥NP∴MNPQ 是平行四边形取AC 的中点K ，连BK ，DK ∵AB=BC ，∴BK ⊥AC ，∵AD=DC ，∴DK ⊥AC BKD 与AC 垂直∵BD 在平面BKD 内，∴BD ⊥AC ∵MQ ∥BD ，QP ∥AC ，∴MQ ⊥QP ，即∠MQP 为直角故MNPQ 是矩形八．（本题满分18分）抛物线y 2=2px 的内接三角形有两边与抛物线x 2=2qy 相切，证明这个三角形的第三边也与x 2=2qy 相切解：不失一般性，设p>0,q>0.又设y 2=2px 的内接三角形顶点为A 1（x 1,y 1),A 2(x 2,y 2),A 3(x 3,y 3)因此y 12=2px 1，y 22=2px 2 ，y 32=2px 3其中y 1≠y 2 , y 2≠y 3 , y 3≠y 1 .依题意，设A 1A 2，A 2A 3与抛物线x 2=2qy 相切，要证A 3A 1也与抛物线x 2=2qy 相切因为x 2=2qy 在原点O 处的切线是y 2=2px 的对称轴，所以原点O 不能是所设内接三角形的顶点即（x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，都不能是（0，0）;又因A 1A 2与x 2=2qy 相切，所以A 1A 2不能与Y 轴平行，即Yx 2=2qyy 2=2pxx 1≠x 2 , y 1≠-y 2,直线A 1A 2的方程是),(112121x x x x y y y y ---=- ).(2))((1212122122x x p y y y y y y -=+-=-Θ(1)0)(2.0)2(4)4(,2,0242.2212122121221221212121222121212121=++=+++-=∆==+-+-=+++=∴y y y y q p y y y qy y y pq qy x A A y y y qy x y y pqx qy x A A y y y y x y y py A A 化简得上面二次方程的判别式相切与抛物线由于交点的横坐标满足与抛物线方程是同理由于A 2A 3与抛物线x 2=2qy 相切，A 2A 3也不能与Y 轴平行，即 x 2≠x 3, y 2≠-y 3,同样得到(2) 0)(2p 32322=++y y y y q由（1）（2）两方程及y 2≠0,y 1≠y 3,得y 1+y 2+y 3=0.由上式及y 2≠0,得y 3≠-y 1，也就是A 3A 1也不能与Y y 2=-y 1-y 3代入（1）式得：(3) 0)(2p 13132=++y y y y q(3)式说明A 3A 1与抛物线x 2=2qy 的两个交点重合，即A 3A 1与抛物线x 2=2qy 相切所以只要A 1A 2，A 2A 3与抛物线x 2=2qy 相切，则A 3A 1也与抛物线x 2=2qy 相切九．（附加题，本题满分20分，计入总分）已知数列ΛΛ,21,,n a a a 和数列,,,,21ΛΛn b b b 其中111,,-===n n pa a q b p a).0,0,,,(),2(11>>≠≥+=--r p q r q p n rb qa b n n n 且是已知常数1．用p,q,r,n 表示b n ，并用数学归纳法加以证明; 2．求.lim22nn n n b a b +∞→解：1.∵a 1=p, a n =p a n-1,∴a n =p n . 又b 1=q,b 2=q a 1+rb 1=q(p+r), b 3=q a 2+rb 2=q(p 2+pq+r 2),… 设想.)()(121rp r p q rr ppq b n n n n n n --=+++=---Λ用数学归纳法证明：当n=2时，,)()(222r p r p q r p q b --=+=等式成立; 设当n=k 时，等式成立，即,)(r p r p q b k k k --=则b k+1=q a k +rb k =,)()(11rp r p q r p r p rq qp k k k k k--=--+++ 即n=k+1时等式也成立所以对于一切自然数n ≥2，rp r p q b n n n --=)(都成立.)(lim ,0)(,,10,])(1[)(])(1[lim,,)()()(lim ,0,)()()(limlim.222222222222222222q r p qb a b p rn p r prq r p p rq p r p q r p p r p q r p r p r p q p r p r p q ba b n n n n n n n n n n nnn n n n nn n n n nnn n +-=+∴→∞→<<-+--=-+--=>>--+--=+∞→∞→∞→∞→∞→时故当原式分子分母同除以原式ΘΘ（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。

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