37
单位阶跃序列
1, n ≥ 0 u(n) 0, n＜0

1, n ≥ m u (n m) 0, n＜m

u(n)类似于u(t)
δ(n)和u(n)的关系： δ(n) = u(n)-u(n-1)

u(t)在t= 0时常不定义，u(n)
在n= 0时为u(0)= 1
38
单位矩形序列

σ=0时，序列具有以2π为周期的周期性
42
1.2.4 序列的周期性
对于序列x(n)，如果对所有n 存在一个最小的正整 数N，满足 x(n)= x(n+N) 则序列x(n)是周期序列 ，最小周期为N 。 以正弦序列 为例讨论周期性 设 x(n)= Asin(ωn+φ)

则有
x(n+N) =Asin[ω(n+N)+φ] =Asin(ωN+ωn+φ) x(n+N)= Asin[ω(n+N)+φ] = Asin(ωn+φ) = x(n)

交通灯信号传递的信息：红灯停而绿灯行。

信号是传递信息的函数

数学上表示成一个或多个独立变量的函数 一维变量：时间或其它参量

语音信号表示为一个时间变量的函数 静止图像信号表示为两个空间变量的亮度函数
4
信号的分类

连续时间信号：

连续时间域内的信号 幅度可以是连续数值，或是离散数值


若为复序列，取模值后再求平方和。
31
基本运算—序列的卷积和
设序列为x(n)和z(n)，则序列
y ( n ) x ( n ) z ( n)
m


x ( m ) z ( n m)
(1.13)
定义为x(n)和z(n)的卷积和。卷积和又称 为离散卷积或线性卷积，是很重要的公式。
32
卷积和计算的四个步骤


翻转：x(m) ，z(m) →z(-m)
移位：z(-m) → z(n-m)


n为正数时，右移n位
n为负数时，左移n位

相乘：z(n-m) • x(m) （m值相同）
相加：y(n) =∑{z(n-m) • x(m)}
33
例：卷积和计算
例1.3 设序列 求y(n)= x(n)*z(n) 。 解：
例1.1 设序列
2 n 1 , n ≥ 1 x ( n) n＜ 1 0,
计算序列的移位x(n+1)。 解： n2 2 , n 1≥ 1 x(n 1) n 1＜ 1 0,
19
例：序列移位图示
x(n)
2 n 2 , n 1≥ 1 x(n 1) n 1＜ 1 0,
计算序列的标乘4x(n)。 解：
2 4 x ( n) 0,
n 1
, n ≥ 1 n＜ 1
22
基本运算—序列的翻转
设序列为x(n)，则序列
y(n)= x(-n) (1.6)
表示以n= 0的纵轴为对称轴将序列x(n)加 以翻转。
23
例：序列的翻转
例1.2 设序列
2 n 1 , n ≥ 1 x ( n) n＜ 1 0,
计算序列的翻转x(-n)。 解：
2 n 1 , n ≤ 1 x ( n) n＞1 0,
24
基本运算—序列的累加
设序列为x(n)，则序列
n
y ( n)
k
x(k )
(1.7)
定义为对x(n)的累加，表示将n 以前的所
有x(n)值求和。
25
基本运算—序列的差分

前向差分：将序列先进行左移，再相减 Δx(n) = x(n+1)- x(n) (1.8) 后向差分：将序列先进行右移，再相减 ▽x(n) = x(n)- x(n-1) (1.9)
8
序列表示
x = {x(n)}， -∞＜n＜+∞

n 代表nT
T 指间隔的离散时间
nT 指均匀间隔的离散时间
n 为非整数时没有定义，不能认为此时 x(n)的值是零
9
图1.1 序列的图形表示
10
1.2.2 序列的基本运算


和
积


累加
差分


移位
标乘


时间尺度变换
序列的能量

翻转
20
基本运算—序列的标乘
设序列为x(n)，a为常数(a≠ 0)，则序列
y(n)= ax(n) (1.5)
表示将序列x(n)的标乘，定义为各序列值 均乘以a，使新序列的幅度为原序列的a倍。
21
例：序列的标乘
例1.1 设序列
2 n 1 , n ≥ 1 x ( n) n＜ 1 0,
例1.5 序列
，2π/ω= 8/3是有理数，
所以是周期序列，取k= 3，得到周期N= 8。

2π/ω为无理数时，任何k 都不能使N 为正整数，这 时正弦序列不是周期序列。 序列
例

指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的 情况相同。
45
1.2.5 用单位脉冲序列表示任意序列

任何序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和来表 示，即
43
若满足条件ωN= 2kπ，则
周期性讨论

N、k 为整数，k 的取值满足条件，且保证N 最小正整数。其周期为

2π/ω为整数时，取k = 1，保证为最小正整数。此
时为周期序列，周期为2π/ω。
例1.4 序列
，因为2π/ω= 8，所以
是一个周期序列，其周期N= 8。
44
周期性讨论

2π/ω为有理数而非整数时，仍然是周期序列，周期 大于2π/ω。

6
1.2 离散时间信号——序列


序列的定义及表示
序列的基本运算 几种常用序列 序列的周期性 用单位脉冲序列表示任意序列
7
1.2.1 序列的定义及表示


序列的定义
数字序列：离散时间信号 一般只在均匀间隔的离散时间nT上给出 数值


序列的表示
x = {x(n)}， -∞＜n＜+∞ 图1.1 图形表示 用单位脉冲序列表示 (1.1)

卷积和
11
基本运算—序列的和
设序列为x(n)和y(n)，则序列
z(n)= x(n)+ y(n) (1.2)
表示两个序列的和，定义为同序号的序 列值逐项对应相加。
12
例：序列的和
例1.1 设序列
2 n 1 , n ≥ 1 x ( n) n＜ 1 0,
2n , n＜0 y ( n) n 1, n ≥ 0
第一章 离散时间信号与系统
本章目录


离散时间信号——序列
离散时间系统


线性常系数差分方程
连续时间信号的取样 Matlab实现
2
1.1 引言


信号
信号与信息 信号的表示 信号的分类



系统
系统的作用 系统的分类 系统的描述与分析
3
信号与信息

信号是信息的表现形式 信息则是信号的具体内容
以1/m倍的取样频率每隔m-1个点抽取1点。
保留 x(0)
29
插值序列

x(n/m) ：对x(n)进行插值运算

表示在原序列x(n)相邻两点之间插入m-1个零 值点 保留 x(0)

30
基本运算—序列的能量
设序列为x(n)，则序列

E

n
| x ( n) |
2
(1.12)
定义为序列的能量，表示序列各取样值的 平方之和；
离散时间信号：

ห้องสมุดไป่ตู้
离散时间点上的信号
幅度同样可以是连续数值，或是离散数值

特殊形式：模拟信号和数字信号

模拟信号：时间和幅度都是连续数值的信号，实际中 与连续时间信号常常通用。 数字信号：时间和幅度都离散化的信号。
5

本章主要内容


离散时间信号的基本概念
离散时间系统的定义及其性质 线性常系数差分方程及其求解方法 理想取样：连续时间信号数字处理的 概念和基本方法 Matlab实现
x(n)由x(t)= sinΩt 取样得到

归一化:
ω=ΩT =Ω/fs
(ω与Ω线性关系 )
41
复指数序列

ω为数字域角频率

用实部与虚部表示 用极坐标表示
x(n) e n (cos n jsin n) e n cos n e n jsin n

x(n) x(n) e jarg[ x(n)] e n e jn
n＜0时，x(m)与z(n-m) 没有重叠，得y(n)=0。 0≤n≤4时， 对应点相乘！
对应点相乘！
34
例：卷积和计算
4＜n≤6时，
4＜n≤6时，
n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)= 0。
35
1.2.3 几种常用序列


单位脉冲序列
单位阶跃序列


矩形序列
实指数序列


正弦序列
复指数序列
36
单位脉冲序列
1, n 0 (n) 0, n 0
δ(n)只在n =0时取确定 值1，其它均为零 δ(n)类似于δ(t)