正态性检验方法的比较
正态分布是许多检验的基础，比如F 检验，t 检验，卡方检验等在总体不是正太分布是没有任何意义。
因此，对一个样本是否来自正态总体的检验是至关重要的。
当然，我们无法证明某个数据的确来自正态总体，但如果使用效率高的检验还无法否认总体是正太的检验，我们就没有理由否认那些和正太分布有关的检验有意义，下面我就对正态性检验方法进行简单的归纳和比较。
一.图示法
1.P-P 图
以样本的累计频率作为横坐标，以按照正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，以样本值表现为直角坐标系的散点。
如果数据服从正态分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。
2. Q-Q 图
以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为直角坐标系的散点。
如果数据服从正太分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。
以上两种方法以Q-Q 图为佳，效率较高。
3.直方图
判断方法：是否以钟型分布，同时可以选择输出正态性曲线。
4.箱线图
判断方法：观察矩形位置和中位数,若矩形位于中间位置且中位数位于矩形的中间位置，则分布较为对称，否则是偏态分布。
5.茎叶图
判断方法：观察图形的分布状态,是否是对称分布。
二．偏度、峰度检验法：
1. S,K 的极限分布
样本偏度系数()
3
322B S B = 该系数用于检验对称性，S>0时，分布呈正偏态，S<0时，分布呈负偏态。
样本峰度系数()4
223B K B =-
该系数用于检验峰态，K>0时为尖峰分布，S<0时为扁平分布；当S=0，K=0时分布呈正态分布。
0H :F(x)服从正态分布 1H ：F(x)不服从正态分布
当原假设为真时，检验统计量
~N(0,1)
~N(0,1) 对于给定的α
R ||={|>λ⋃|>λ} 其中14u α
-λ=
2. Jarque-Bera 检验（偏度和峰度的联合分布检验法）
检验统计量为 JB= 22164n k S K -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
()22χ~ JB 过大或过小时，拒绝原假设。
三．非参数检验方法
1.Kolmogorov-Smirnov 正态性检验（基于经验分布函数（ECDF ）的检验）
()()0max ||n D F x F x =-
()n F x 表示一组随机样本的累计概率函数，()0F x 表示分布的分布函数。
当原假设为真时，D 的值应较小，若过大，则怀疑原假设，从而，拒绝域为 {}R D d =>
对于给定的α {}p P D d α=>= 又ˆ{}n n
p P D D =≥ 2.Lilliefor 正态性检验
该检验是对Kolmogorov-Smirnov 检验的修正，参数未知时，由22
ˆˆ,X S μσ==可计算得检验统计量ˆn
D 的值。
3.Shapiro-Wilk(W 检验)
检验统计量： (
)()()()()()212211
n i i i n n i i i i a a X X W a
a X X ===⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=--∑∑∑ 当原假设为真时，W 的值应接近于1，若值过小，则怀疑原假设，从而拒绝域为 R {}W c =≤
在给定的α水平下 P {}W c ≤=α
4. 2
χ拟合优度检验（也是基于经验分布函数（ECDF ）的检验）
检验统计量为 22211()()k
k i i i i i i i i f f np n p p n np χ==-=-=∑∑1)k ~χ(- 22211ˆ()ˆ()ˆˆk k i i i i i i i i f f np n p p n np χ==-=-=∑∑1)k r ~χ(-- r 是被估参数的个数
若原假设为真时，2χ应较小，否则就怀疑原假设，从而拒绝域为2
{}R d χ=≥，对于给定
的α 2{}P d χα≥= 又22
ˆ{}p P χχ=≥ 四.方法的比较
1.图示法相对于其他方法而言，比较直观，方法简单，从图中可以直接判断，无需计算，但这种方法效率不是很高，它所提供的信息只是正态性检验的重要补充。
2.经常使用的2
χ拟合优度检验和Kolmogorov-Smirnov 检验的检验功效较低，在许多计算机软件的Kolmogorov-Smirnov 检验无论是大小样本都用大样本近似的公式，很不精准，一般使用Shapiro-Wilk 检验和Lilliefor 检验。
3. Kolmogorov-Smirnov 检验只能检验是否一个样本来自于一个已知样本，而Lilliefor 检验可以检验是否来自未知总体。
4. Shapiro-Wilk 检验和Lilliefor 检验都是进行大小排序后得到的，所以易受异常值的影响。
5. Shapiro-Wilk 检验只适用于小样本场合（3≤n ≤50）,其他方法的检验功效一般随样本容量的增大而增大。
6. 2χ拟合优度检验和Kolmogorov-Smirnov 检验都采用实际频数和期望频数进行检验，前者既可用于连续总体，又可用于离散总体，而Kolmogorov-Smirnov 检验只适用于连续和定量数据。
7．2χ拟合优度检验的检验结果依赖于分组，而其他方法的检验结果与区间划分无关。
8.偏度和峰度检验易受异常值的影响，检验功效就会降低。
9.假设检验的目的是拒绝原假设，当p 值不是很大时，应根据数据背景再作讨论。