r
r
r
2 r
r
f
fr 0
0
y
rd
B
方程说明：
（4－1）
d
Pr
x
(r dr)d
dr
fr f
A
r
r
r
C
r
r
r
d
r
r
dr dr
两方程三个未知量，是一次超静定问题，须应用几何学和物
理学方面的条件才能求解。
弹性力学
平面问题的极坐标解答
7
第四章 平面问题的极坐标解答
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
)
r
平面问题的极坐标解答
（4－3） （4－4）
13
第四章 平面问题的极坐标解答
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
一、极坐标中的平衡微分方程 二、极坐标中的几何方程与物理方程 三、极坐标中的应力函数与相容方程 四、应力分量的坐标变换式 五、轴对称应力与相应的位移 六、圆环或圆筒受均布压力 七、压力隧洞 八、圆孔的孔边应力集中 九、半平面体在边界上受集中力 十、半平面体在边界上受分布力
Pr
x
(r dr)d
dr
fr f
A
r
r
r
dr
1 r
r
r
2 r
r
f
0 y
d
C
r
r
r
d
r
r
dr
弹性力学
平面问题的极坐标解答
6
一 极坐标中的平衡微分方程
M 0 r
r
O
—— 剪应力互等定理
于是，极坐标下的平衡方程为：
r
d r r
r
r
1
r
1 r
r r
F 0： d d cr d 2 o s d cr d 2 o s r r r d r r d d r
rrd r rd dsrid 2 n O
rdsrid n2 frdd r0
r
d r r
两边同除以 rdrd ，并略去高阶小量： rd B
弹性力学平面问题 的极坐标解答
弹性力学
平面问题的极坐标解答
1
第四章 平面问题的极坐标解答
本章要点
徐芝纶院士(1911-1999)
要点：
（1）极坐标中平面问题的基本方程： —— 平衡方程、几何方程、物理方程、 相容方程、边界条件。
（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用
应用： 圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形 体、半无限平面体等的应力与 变形分析。
PB PB (r ur )d rd ur （c）
PB
rd
r
环向线段PB的转角：
弹性力学 1 tan 1
BB PP
(ur
ur
d ) ur
PB 平面问题的极坐标解答 rd
1 ur
r
（d）
9
二 极坐标中的几何方程与物理方程
径向线段PA的相对伸长：
ur
r1
r （a）
径向线段PA的转角：
一、极坐标中的平衡微分方程 二、极坐标中的几何方程与物理方程 三、极坐标中的应力函数与相容方程 四、应力分量的坐标变换式 五、轴对称应力与相应的位移 六、圆环或圆筒受均布压力 七、压力隧洞 八、圆孔的孔边应力集中 九、半平面体在边界上受集中力 十、半平面体在边界上受分布力
弹性力学简明教程(第三版)
二 极坐标中的几何方程与物理方程
1. 几何方程
O
(1) 只有径向变形，无环向变形。
径向线段PA的相对伸长：
r1
ur
PA PA
PA
ur r
dr
ur
dr
AA PP
PA y
ur r
（a）
ur
d
r
P
ur
B
B
ur d
x
dr ur
A
P
A
1
(r ur )d
ur r
dr
径向线段PA的转角： 1 0 （b）
线段PB的相对伸长： 1
1 0
（b）
环向线段PB的相对伸长：
1
ur r
（c）
环向线段PB的转角：
O
d
r
P
ur
dr P
x
A
ur
ur r
dr
A
B
1
y
B
ur
ur
d
(r ur )d
剪应变为：
1
1 r
ur
（d）
r 1
1
1
1 r
ur
（e）
弹性力学
平面问题的极坐标解答
10
二 极坐标中的几何方程与物理方程
(2) 只有环向变形，无径向变形。O
弹性力学简明教程(第三版)
一 极坐标中的平衡微分方程
极坐标中的微元体
体力： fr , f
应力：
PA面 ,r
PB面 r , r
BC面
d
r
r
d
AC面
弹性力学
r
r
r
dr
r
r
r
dr
O
r
d r r
rd B
Pr
x
(r dr)d
dr
fr f
A
r
r
r
dr
y
d
C
r
r
r
r
r
dr
d
应力正向规定：
r、θ的正面上，与坐标方向一致时为正；
平面r问、题θ的的极负坐标面解上答 ，与坐标方向相反时为正。4
一 极坐标中的平衡微分方程
考虑微元体平衡（厚度为1），将力投影到中心径向轴上：
Fr 0：
rrd
( r
r
r
dr)(r
dr)d
r dr
cos
d
2
( r
r
d )dr
cos
d
2
d
dr
sin
d
2
dr sin
d
2
f r rdrd
0
O
r
d r r
两边同除以 rdrd ，并略去高阶小量： rd B
Pr
x
(r dr)d
dr
fr f
A
r
r
r
dr
r
r
1 r
r
r
r
fr
0
y
d
C
r
r
r
r
r
dr
d
弹性力学
平面问题的极坐标解答
5
一 极坐标中的平衡微分方程
将力投影到中心环向轴上：
u
1 r
u
（h）
剪应弹变性力为学：
r 2
2
2
u u 平面问题的极坐标解答 r r
（j）
11
二 极坐标中的几何方程与物理方程
(3)
Байду номын сангаас
总应变
r r1 r2
ur r
0
ur r
1
2
ur r
1 r
u
r r1 r 2
1 ur
r
u r
u r
r
ur r
ur r
1 r
u
（4－2）
r
弹性力学简明教程(第三版)
第四章 平面问题的极坐标解答
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
一、极坐标中的平衡微分方程 二、极坐标中的几何方程与物理方程 三、极坐标中的应力函数与相容方程 四、应力分量的坐标变换式 五、轴对称应力与相应的位移 六、圆环或圆筒受均布压力 七、压力隧洞 八、圆孔的孔边应力集中 九、半平面体在边界上受集中力 十、半平面体在边界上受分布力
1 r
ur
u r
u r
—— 极坐标下的几何方程
弹性力学
平面问题的极坐标解答
12
二 极坐标中的几何方程与物理方程
2. 物理方程
平面应力情形：
平面应变情形：
弹性力学
r
1 E
( r
)
1 E
(
r )
r
1 G
r
2(1 E
)
r
r
1 2
E
( r
1
)
1 2
E
(
1
r
)
r
1 G
r
2(1 E
径向线段PA的相对伸长：
r2
PA PA PA
dr dr dr
0（f）
径向线段PA的转角：
y
2
u
u r
dr
u
dr
u r
（g）
d
B
B
x
r P dr
2
P
u
2
A
A u
u r
dr
u
u
d
环向线段PB的相对伸长：
2
PB PB PB
BB PP PB
环向线段PB的转角：
2
u r
u
（i）
u d rd