系数um1m2m3是m1、m2、m3的函数，具体来说，是Gm的函数。故um1m2m3记做 u(Gm)，于是
U (r ) = ∑ u (G m )e i G m
m
•r
1 u (Gm ) = | a1 (a2 × a3 ) |
•
a3 a2 a1
−i G r ∫ ∫ ∫ U (r) e m d r
•
0 0 0
a3 /n3
a2 /n2
BA ⋅ G n = (a1
n1
-
a2
n2
) ⋅ (n1 b1 + n2 b 2 + n3 b 3 )
a1 /n1
= a1 ⋅ b1 − a2 ⋅ b2 = 0
同理： CA ⋅ G n = 0
所以倒格矢Gn垂直晶面(n1 n2 n3）。设晶面法线方向单位矢量为en。
13
布里渊区
在倒空间中，将从原点出发的所有的倒格矢 Gm 作垂直平分面，这些面统
称为布拉格面。
布拉格面将倒空间划分为一系列的区域，称为布里渊区。从原点最少越过
(n-1)个布拉格面可达到的区域就被定义为第n布里渊区，注意从原点出发的 路径不可以通过布拉格面的交线或交点，以免计算通过多少个布拉格面时发 生误算。
m 3 m 2 m1
um1m2 m3 = ∫ ∫ ∫ U (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 )e − 2π i ( m1ξ1 + m2ξ 2 + m3ξ3 ) dξ1dξ 2 dξ 3
0 0 0
1 1 1
m1、m2、m3 为整数，三个求和都是从−∞至∞．积分是在一个原胞内的体 积分，Va为原胞体积。
11
a3 = ak

i、j、k为正交的单位矢量，原胞的体积为: a1 ⋅ (a2 × a3 ) = a 3 则倒易基矢为： a2 × a3 2π 2 2π b1 = 2π = 3 a i = i a1 ⋅ (a2 × a3 ) a a
2π b2 = j a
Va 2π 3 = ( ) ( a2 × a3 ) ⋅ {[( a3 × a1 ) ⋅ a2 ]a1 − [( a3 × a1 ) ⋅ a1 ]a2 } Va
3 2π 3 ( 2 π ) = ( ) [( a3 × a1 ) ⋅ a2 ] ⋅ [( a2 × a3 ) ⋅ a1 ] = Va Va
r为晶格中任一点位置，Rl为晶格平移矢量： R l = l1a 1 + l2a 2 + l3a 3 U(r)可按倒格矢Gm展开为傅里叶级数
U (r ) = ∑ u (G m )e i G m
m
•r
1 u (Gm ) = | a1 (a2 × a3 ) |
•
a3 a2 a1
−i G m r ( ) U e dr r ∫∫∫
U (ξ1 ξ 2 ξ 3 ) = U (ξ1a1 + ξ 2a 2 + ξ 3a 3 ) = U [(ξ1 + l1 )a 1 , (ξ 2 + l2 )a 2 , (ξ 3 + l3 )a 3 ]
其可以看作以ξ1、ξ2、ξ3为变量，周期为1的函数，因此可以写成傅立叶级数：
U (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = ∑∑∑ um1m2 m3 e 2π i ( m1ξ1 + m2ξ 2 + m3ξ 3 )
2π b3 = k a
所以简单立方点阵的倒格子仍为简单立方，晶格常数为2π/a。
体心立方点阵的倒格子为面心立方 面心立方点阵的倒格子为体心立方
5
倒点阵性质
I. 正倒点阵的基矢互相正交，即：
b1 • a2 = b1 • a3 = b2 • a1 = b2 • a3 = b3 • a1 = b3 • a2 = 0 b1 • a1 = b2 • a2 = b3 • a3 = 2π
其中利用矢量公式：
A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B )
A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B)C
7
III. 正点阵是它本身倒点阵的倒点阵 IV. 倒点阵保留了正点阵的全部对称性
倒格矢
由倒易基矢b1、b2、b3定义倒易空间的矢量可以表示为：
Gn = n1b1 + n2b2 + n3 b3
n1、n2、n3为整数，矢量Gn称为倒易矢量或倒格矢。矢量Gn端 点的集合构成倒易点阵或称倒格子。相对应，也常把正空间的 晶体点阵成为正点阵。显然，倒易点阵也具有平移不变性，Gn 为倒空间的平移矢量。 我们知道，正点阵的原胞体积Va为：
= 2π (l1n1 + l2 n2 + l3 n3 ) = 2πm
II. 倒点阵原胞的体积反比于正点阵原胞体积
( 2π ) 3 Vb = Va
证明：
2π 3 Vb = b1 • (b2 × b3 ) = ( ) (a2 × a3 ) ⋅ [( a3 × a1 ) × (a1 × a2 )]
• •
m
m
10
VI证明过程：
由于晶格的周期性，如U(r)表示r点某一物理量，则有：
U (r ) = U (r + R l )
r为晶格中任一点位置，Rl为晶格平移矢量，记做：
r = ξ 1a 1 + ξ 2 a 2 + ξ 3 a 3
R l = l1a 1 + l2a 2 + l3a 3
ξ1、ξ2、ξ3为实数，l1、l2、l3为整数。函数U(r)可以表示为U(ξ1 ξ2 ξ3)
m =1
∞
i
m 2πx l
−i 1 l/2 cm = ∫ f ( x ) e l −l / 2
m 2πx l
dx
•物理意义：任何复杂周期振动均可分解为不同频率的谐振 的无限叠加；人耳；无线电学。
2
倒易基矢
设晶体点阵的三个基矢用a1、a2、a3表示，那么定义该晶体的 倒易点阵的三个基矢为： a2 × a3 b1 = 2π a1 ⋅ (a2 × a3 ) a3 × a1 b2 = 2π a1 ⋅ (a2 × a3 ) a1 × a2 b3 = 2π a1 ⋅ (a2 × a3 ) b1 、 b2 、 b3称为倒易基矢。由 b1 、 b2 、 b3 线性组合构成的空间称 为倒易空间或倒空间。定义了倒空间之后，人们常常把a1、a2、 a3线性组合构成的晶体空间称为正空间。a1、a2、a3称为正空间 3 基矢。
−1 Gn ⋅ Rl = 2πm Gn ⋅ g Rl = 2πm −1 −1 g (Gn ⋅ g Rl ) = gGn ⋅ gg Rl = gGn ⋅ Rl = 2π m
g为一对称操作，g-1 为其逆操作。
V. 正点阵的一组晶面(n1 n2 n3)垂直于倒格矢 Gn = n1b1 + n2b2 + n3 b3
且晶面间距 d n n n
1 2 3
= 2π Gn
8
证明： 根据晶面指数定义， (n1 n2 n3) 该组晶面中最靠近原点的晶面与 坐标轴a1、 a2、 a3交点的位矢：
OA = a1 n1 OB = a2 n2 OC = a3 n3
(n1 n2 n3)晶面上两条相交直线AB和AC 的位矢：
BA = a1 n1 a2 n2 CA = a1 n1 a3 n3
m3 m2 m1
•r
um1m2 m3
1 = | a1 (a2 × a3 ) |
•
a3 a2 a1
− i ( m1b1 + m2b 2 + m3b 3 ) r U ( r ) e dr ∫∫∫
•
0 0 0
m1b1+m2b2+m3b3为倒格矢，记为Gm
G m = m1b1 + m2b 2 + m3b 3
d n1n2 n3 Gn a1 = en ⋅ OA = ⋅ = Gn n1 a1 (n1 b1 + n2 b2 + n3 b3 ) ⋅ n1 Gn = 2π Gn
9
VI. 晶格周期函数可以按倒格矢Gn展开为傅立叶级数
由于晶格的周期性，如U(r)表示r点某一物理量，如静电势能、电子云 密度，则有：
U (r ) = U (r + R l )
2 l/2 m2πx 1 l/2 ( ) cos a = f x dx a0 = ∫ f ( x)d x m l ∫−l / 2 l l −l / 2 2 l/2 m2πx bm = ∫ f ( x) sin dx l −l / 2 l
2. 复数形式
f ( x + l ) = f ( x)
f ( x ) = ∑ cm e
第二讲 主要内容
一些晶格实例（自己看） 简单与复式晶格 晶格周期性的几何描述 晶列和晶面 晶体宏观对称性和结构分类 倒易点阵(倒格子）
1
附数学补充：傅里叶变换
•数学上：任何周期函数均可表示为一组三角函数或傅里叶 级数的叠加： 1. 三角函数形式
f ( x + l ) = f ( x)
m2πx m2πx ∞ + bm sin f ( x) = a0 + ∑ am cos l l m =1
Va = a1 ⋅ (a2 × a3 )
类似地，我们倒易基矢b1、b2、b3构成的平行六面体称为倒点阵 的原胞。其体积用Vb表示
Vb = b1 • (b2 × b3 )立方
简单立方的点阵为的基矢定义为：
a1 = ai