第二章地图的数学基础
§2．1地球的形状与大小
一、地球的自然表面
是不规则的曲面。

最高峰珠穆拉玛峰8848.13米，最深处马里亚纳海沟-11034米，高差约2万米，20公里。

二、大地水准面与大地球体
自然表面不能作为测绘的基准面。

以静止的海水面延伸至大陆内部，形成的水准面称为大地水准面。

由它所包围的球体叫大地球体。

三、地球椭球体
大地水准面仍然是有起伏的不规则曲面，高差不过60米，但仍然不能用数学公式表示。

寻求一个可以用数学公式表示的接近实际的球体——地球椭球体。

与大地水准面吻合得最好的一个地球椭球体叫参考椭球体。

四、地球的大小
地球椭球体是表面规则的数学曲面，它的大小以长半径（赤道半径）a，短半径（极半径）b和扁率f=(a–b)/a表示。

a，b，f称为地球椭球体三要素。

我国1952年前采用海福特椭球体，1953年起一直用克拉索夫斯基椭球体，1978年起改用1975年国际椭球体。

表2-1国际主要的椭球参数和使用的国家
§2．2坐标系及大地控制点
确定地面点或空间目标位置所采用的参考系统称为坐标系。

一、地理坐标系
地理坐标：是用经纬度表示地面点位置的球面坐标。

N S地球椭球体的旋转轴，通过旋
转轴的平面叫子午面。

子午面与椭球体
的交线称为子午圈或子午线，即经线；
与赤道平行的面与椭球体相交的线称为
纬线或纬圈。

起始子午线：又叫首子午线、本初子
午线，是指通过英国格林威治天文台的
子午线。

地理经度：地面上任一点的经度为该
点的子午面与起始子午面之间的夹角。

东经和西经。

地理纬度：地面上任一点的纬度为该
点的法线与赤道面的夹角。

北纬和南纬。

大地坐标系
1954年北京坐标系：解放后至七十年代采用的大地坐标系，基于克拉索
夫斯基椭球体而建立的。

1980年国家大地坐标系：采用1975年国际大地测量协会推荐的参考椭球而建立的中国国家大地坐标系，以我国中部西安市径阳县永乐镇为国家大地坐标原点。

二、平面坐标系
地面上的点的位置可以用地理坐标，即该点的经纬度来确定。

在地图平面上的相应点位，可以用平面直角坐标系，即x，y值来确定。

地图投影就是研究：
P（λ，φ）P’（x，y）
三、高程系
绝对高程：地面点到大地水准面的高度，也叫海拔。

1956年黄海高程系：根据青岛验潮站1950至1956年记录资料，确定黄海平均海水面，并推算出设在青岛市观象山山洞中的水准原点高程为72.289米，作为全国各地高程测量计算的依据。

1985年国家基准：采用青岛验潮站1953至1979年27年的验潮资料计算的平均海水面作为我国新的高程起算面。

水准原点的高程为72.260米。

§2．3地图投影的基本概念
一、地图投影的概念
地球表面是个曲面，而地图是个平面，要把曲面展开为平面，就必然产生裂缝和重叠。

为了消除裂缝和重叠，就需要在裂缝的地方予以扩展，在重叠的地方予以压缩，这样，就使图形发生了变形。

怎样把地球曲面转换成地图平面，从而使图形的变形最小呢？这就是地图投影要研究的问题。

地图投影的实质就是将地球椭球体面上的经纬网按照一定的数学法则转换到平面上，建立起球面上点（λ，φ）与平面上对应点（x，y）之间的函数关系，用数学公式表示为：
x=f1（λ，φ）
y=f2（λ，φ）
这样，已知球面上任意一点p（λ，φ），代入运算就可以得到平面上的对应点P’（x，y）。

几何透视法进行地图投影。

录象
二、地图投影变形
把地球曲面投影成地图平面后，地图上两点间的距离、方位、面积和图形形状难以和地面上保持一致。

也就是说，经过投影后，地图上发生了长度、面积和形状的改变，这种变化被称为地图投影变形。

地球曲面投影成地图平面，投影变形不可避免。

一种投影如果长度不变形，面积和方向就要变形。

了解地图投影变形规律非常重要，可以根据需要选择适用的投影。

如编制土地利用图，选择面积没有变形的投影，叫等积投影；编制航空、航海图，选择方向、角度没有变形的投影，叫等角投影。

变形分布的一般规律：地图的表示范围愈大，变形愈大。

表示整个地球的全球地图和表示整个中国的中国全图比较，显然全球地图的变形大。

因此，大范围小比例尺地图由于投影变形大，只能用来了解基本情况，不能用于精确计算（量算）；离无变形线愈远，变形愈大。

确定变形大小的方法有很多种，只讲两种：
等变形线法：连接变形相等的点所成的线。

有角度变形线和面积变形线。

变形椭圆法：当球面上的小圆投影到平面上时，一般不一定变成圆而变成椭圆。

变形椭圆的形状和大小，能反映地图投影变形的性质和变形的程度。

三、地图投影分类
目前已有数百种投影。

主要按两类分类标志分类，一是变形的性质，二是正轴投影时经纬网的形状。

（一）按变形的性质分类
等角投影：变形椭圆为圆，但面积变形最大。

用于航海、航空、洋流。

等积投影：面积相等，变形椭圆形状变化大。

用于政区图、土地利用图。

等距投影：变形椭圆主方向长度保持不变。

用于交通图、世界地图。

任意投影：既不等角也不等积的投影。

用于中小学教学图。

（二）按经纬网的形状
要求从经纬线形状来识别投影。

从投影原理、经纬线形状和主要用途三个方面来了解常用投影。

1、方位投影：以平面为投影面，用于编制极地图、半球图。

2、圆锥投影：圆锥可展开为平面，适用于中纬度沿纬线方向伸展的地
区，我国的地图多用此投影。

3、圆柱投影：一般适用于赤道附近地区。

4、多圆锥投影：
5、伪圆锥投影：
6、伪圆柱投影：
7、伪方位投影：
§2．4高斯—克吕格投影
一、高斯投影的基本概念
等角横切椭圆柱投影，是我国大于（等于）1：50万地形图所使用的投影。

其投影原理：假定一空心椭圆柱横套在地球椭球体上，椭圆柱面与地球一经线相切，然后用解析法按等角的条件投影到椭圆柱面上，展开椭圆柱面，得到平面图形。

二、高斯投影的变形分布
（一）投影后中央经线和赤道为垂直相交的直线，作为直角坐标系的坐标轴，也是经纬网形状的对称轴；
（二）经线为凹向对称于中央经线的曲线；纬线为凸向对称于赤道的曲线；经纬线相互正交，没有角度变形；
（三）中央经线没有长度变形，其余经线的长度略大于球面实际长度；
离中央经线愈远，椭圆柱面与椭球面愈不接触，其变形愈大。

三、高斯投影的分带
离中央经线愈远，变形愈大。

要控制变形，投影范围不宜太大。

因此采用分带投影。

我国1：2.5万至1：50万地形图采用6˚分带；1：1万和更大比例尺地形图采用3˚分带。

（一）6˚分带法
从零子午线开始，由西向东每6˚为一带，全球共分60带，用1、2、3 (60)
标记。

中央经线的度数L。

=6˚٠n-3˚
带号n=[L/6˚]+1其中L为某点经度，[]表示取整。

我国在东经72˚~136˚之间，包括了13~23共11个投影带。

（二）3˚分带法
不是从零子午线开始分带，可以确保6˚带的中央经线全部成为3˚带的中央经线。

四、高斯投影的坐标网
地形图上绘有两种坐标网，经纬网和方里网。

（一）经纬网
有经线和纬线构成的网。

地形图上1：5000~1：25万只有分度带，连接上下、左右分度带构成经纬网；1：50万和1：100万直接绘出经纬网。

（二）平面直角坐标网（方里网）
投影带的直角坐标系统：中央经线为X轴，赤道为Y轴。