k 0
(k 0) (k 0)
Z[1(kT )] 1(kT )z k 1 z 1 z 2 z k
1 z 1( z ) 1 1 z z 1
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k 0
Z [ (kT nT )] (kT nT ) z k z n
k 0
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
单位阶跃序列的Z变换
单位阶跃信号
1 1(kT ) 0
Z[1(kT )] 1(kT )Z k 1 z 1 z 2 z k
k 0
若 z 1 1，则该级数收敛，利用等比级数求和公式，可 得到1(t)的Z变换为
1 z 1( z ) 1 1 z z 1
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
3.典型时间序列的Z变换
单位脉冲时间序列 单位阶跃时间序列
单位斜坡时间序列
指数序列
正弦、余弦序列
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如果上式能写成闭式，则可求得相应函数的Z变换。
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
例1 试求单位阶跃函数的Z变换
解：单位阶跃函数1(t)采样后的离散信号为单位阶跃序列，
在各个采样时刻的采样值均为1，即1(kT)=1，因此
z z[1(t )] z 1
z[e
at
z ] z e aT
z z z (1 e aT ) Y ( z) 2 aT z 1 z e z (1 e aT ) z e aT
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
离散系统与连续系统相比，具有的优点：
(1) 计算机运算速度快，运算程序易于改变，从而使控制系统 的信息处理和校正更具柔性。 (2) 采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声， 提高系统的抗干扰能力。 (3) 允许采用高灵敏度的控制元件来提高系统的控制精度。 (4) 可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备利用率， 经济性好。 (5) 对于具有传输延时，特别是大延迟的控制系统，可以通过 引入采样来提高其稳定性。
y (kT ) (t kT )e st dt
k 0 0


ze
sT
y (kT )e
k 0
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skT
y (kT )z k
k 0
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
例2 试求衰减指数函数e-at的Z变换
解： 指数函数采样后所得的脉冲序列为
y(kT ) e
akT
Z[ y(kT )] 1 e aT z 1 e 2aT z 2 e kaT z k
1.Z变换的定义
采样信号的表达式：y (t ) y (kT ) (t kT )
* k 0
Z变换的定义：Y ( z ) Y ( s) y(kT ) z k
* k 0

Y * ( s) y (kT ) (t kT )e st dt
0 k 0

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控制性
gh (t ) 1(t ) 1(t T )
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控制工程基础
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
线性离散系统的数学描述和分析方法
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
§10.2 采样过程和采样定理
1.采样过程
每隔一定的时间间隔T将连续信号x(t)通过 采样器抽样成离散信号x*(t)的过程。
x (t ) x (kT ) (t kT )
* k 0
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
采样周期T
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
例4 试求正弦函数e(t)=sinwt的Z变换。
解：对e(t)=sinwt取拉氏变换，得到：
w E (s) 2 s w2
1 1 1 展成部分分式，即 E ( s) [ ] 2 j s jw s jw 1 z z z sin wT E( z) [ ] 2 jwT jwT 2 j z e z e z 2 z cos wT 1
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
§10.1 概述
1. 连续时间系统
系统中所有的信号均是时间t 的连续函数
2. 离散时间系统
系统中某处或数处信号是脉冲序列或数码
采样控制系统 数字控制系统
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
3. 信号保持
将离散模拟信号—脉冲序列转成模拟信号的过程。 用于这种转换的元件称为保持器。
零阶保持器
零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器。
把前一个采样时刻nT 的采样值e(nT)不变的一直保持到下 一个采样时刻(n+1)T到来前的一瞬间。
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
单位斜坡序列的Z变换
单位斜坡信号 y(kT ) kT
Z[ y(kT )] T kz k
k 0
Tz 1 (1 z 1 )2
指数序列的Z变换
指数信号
y(kT ) a
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
采样控制系统
采样控制最早出现于某些具有大惰性或 较大滞后特性的控制中。
此连续系统控制炉温很难取得良好的效果。
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
在误差信号和执行电机之间装一个采样开关， 令其周期性地自动闭合和断开。
若 e at z 1 1 ，则该级数收敛，利用等比级数求和公式，可 得到e-at的Z变换为
Z [e
at
]
1 1 e aT z 1
z z e aT
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
S 为理想采样开关，其采样瞬时的脉冲幅值等于相应采样瞬时 误差信号e(t)的幅值，且采样持续时间趋于零；
Gh(s)为保持器的传递函数；
Gp(s)为被控对象的传递函数； H(s)为反馈元件的传递函数。
部分分式法
基本思路：
先求出已知连续时间函数y(t)的拉氏变换Y(s)，然后 将有理分式函数Y(s)展开成部分分式之和的形式，再进 行拉氏反变换，使每一部分分式对应简单的时间函数， 若其相应的z变换是可知的，便可方便地求出Y(s)对应的 z变换Y(z)。
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
我感到奇妙的是事物何以集成一体。
——香农
美国数学家 1916~2001
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
第十章 线性离散系统分析
概述 采样过程与采样定理 Z变换及其反变换 Z传递函数 线性离散系统的稳定性分析
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控制工程基础
第十章 计算机控制系统
数字控制系统
1.定义
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有
连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。
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